高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划

1/107.4简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.b5E2RGbCAP对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.p1EanqFDPw当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.DXDiTa9E3d2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.RTCrpUDGiT线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x+y≥0内B.点（0，0）在区域x+y+10内C.点（1，0）在区域y2x内D.点（0，1）在区域x－y+10内解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立.答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x，y）满足（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，A.5B.10C.217D.10解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.答案：D2x－y+1≥0，x－2y－1≤0，则x2+y2的最小值为3.不等式组表示的平面区域为为2/10x+y≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C，不对；将（21，21）代入不等式组适合D，不对；又知2x－y+1=0与x－2y－1=0关于y=x对称且所夹顶角α满足5PCzVD7HxAtanα=|2121||212|=43.∴α≠3π.答案：B4.点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是________________.解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞32.答案：t＞325.不等式组1234,0,0yxyx表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3●典例剖析【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为x≥1，x≥1，x≤1，x≤1，y≥1，y≤1，y≥1，y≤1，x+y≤4x－y≤2y－x≤2x+y≥0.其平面区域如图.或或或3/10Oxy∴面积S=21×4×4=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展若再求：①12xy；②22)2()1(yx的值域，你会做吗？答案：①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】某人上午7时，乘摩托艇以匀速vnmile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50nmile的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh.jLBHrnAILg（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围.解：（1）依题意得v=y50，w=x300，4≤v≤20，30≤w≤100.∴3≤x≤10，25≤y≤225.①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14.②因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xyO1492.53910142+3=38yx（2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y），∴3x+2y=131－p.设131－p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为4/10－23的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小.xHAQX74J0X此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?LDAYtRyKfE剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.Zzz6ZB2Ltk解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x+y≤9，10×6x+6×8x≥360，0≤x≤4，0≤y≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.xxxyyyOll01`++==95430作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.dvzfvkwMI1此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.rqyn14ZNXI答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.EmxvxOtOco●闯关训练夯实基础1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B5/102.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为xxxxyyyy112222334444-1-1-2-2-2-2-3-3-4-4-4-4ABCDOOOO解析：可转化为x+2y+1≥0，x+2y+1≤0，x－y+4≤0x－y+4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x=y=1时，zmax=5.yyyxxxO111122==-答案：5x－4y+3≤0，SixE2yXPq53x+5y－25≤0，x≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大；当直线y=zx过点B时，z最小．6ewMyirQFLxxxyyy3+5=0-255123456789-3-4+3=0ABOx＝1，3x＋5y－25＝0，得A（1，522）.或4.变量x、y满足条件设z=xy，则z的最小值为_______，最大值为由6/10x－4y+3=0，3x+5y－25=0，∴zmax＝1522＝522，zmin＝52．答案：525225.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.kavU42VRUs分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.y6v3ALoS89解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域.xyOABCP(1,1)-2312直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0.在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得x+2y－10，x－y+20，2x+y－50.M2ub6vSTnP因此所求区域的不等式组为x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0.作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=23x，观察图形可知：当直线y=23x－21t过A（3，－1）时，纵截距－21t最小.此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；0YujCfmUCw当直线y=23x－21t经过点B（－1，1）时，纵截距－21t最大，此时t有最小值为tmin=3×（－1）－2×1=－5.eUts8ZQVRd因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100由得B（5，2）.下的最大值为11，最小值为－5.7/10g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?sQsAEJkW5T解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），xyOA6+3=8xy4+7=10xy所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，由图可知，直线y=－45x+25S过A（1513，1514）时，纵截距25S最小，即S最小.故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3mg，乙料5mg；配一剂B种药需甲料5mg，乙料4mg.今有甲料20mg，乙料25mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?GMsIasNXkA解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y∈N），则x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．TIrRGchYzg8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：7EqZcWLZNX资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有8/10yOM1015x102030