3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A版必修4)

栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换二倍角公式栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换tan()sin()一、复习和角公式：sincoscossincoscossinsintantan1tantancos()栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换tan()sin()二、sincoscossincoscossinsintantan1tantancos()2sincossin222cossincos222tan1tantan2二倍角公式的推导栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换新知初探思维启动倍角公式及其变形形式sin2α＝________________；cos2α＝cos2α－sin2α＝____________＝__________________；cos2α＝_________________；sin2α＝_________________；1＋cos2α22sinαcosα2cos2α－11－2sin2α1－cos2α2tan2α＝______________________________；2tanα1－tan2α(α、2α≠π2＋kπ，k∈Z)栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换想一想sin2α＝2sinα，cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα能成立吗？提示：一般情况下，sin2α≠2sinα，例如sinπ3≠2sinπ6，只有当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα才成立．只有当cosα＝1－32时，cos2α＝2cosα才成立．只有当α＝kπ(k∈Z)时，tan2α＝2tanα才成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换做一做12sin15°cos15°的值等于()A.14B.18C.116D.12解析：选B.原式＝14×2sin15°cos15°＝14×sin30°＝18.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换典题例证技法归纳题型探究例1给角求值求下列各式的值：(1)(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)；(2)2cos105°cos15°；栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换(3)tan15°1－tan215°；(4)12－cos2π8.【解】(1)(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.(2)2cos105°cos15°＝2cos(90°＋15°)cos15°＝2(－sin15°)cos15°＝－2sin15°cos15°＝－sin30°＝－12.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换(3)tan15°1－tan215°＝12×2tan15°1－tan215°＝12×tan30°＝36.(4)12－cos2π8＝－12(2cos2π8－1)＝－12cosπ4＝－24.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练1.求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°.解：(1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【思路点拨】首先对等式两边平方，求得sinα，再利用同角关系求cosα，最后利用二倍角公式求值．给值(式)求值例2(本题满分9分)已知α为第二象限角，cosα2＋sinα2＝－52，求：sinα2－cosα2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【解】由cosα2＋sinα2＝－52平方得1＋2sinα2cosα2＝54，……………………2分即sinα＝14，cosα＝－154.…………4分∴cos2α2－sin2α2＝－154.6分栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换∴(cosα2－sinα2)(cosα2＋sinα2)＝－154.∴cosα2－sinα2＝32∴sinα2－cosα2＝－32.9分名师微博cosα2与sinα2的位置不要搞错哟！栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换互动探究2.在例2条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值．解：sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋1－2sin2α＝7－158.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．化简与证明例3【解】原式＝1＋cos（2θ＋30°）2＋1－cos（2θ－30°）2＋12sin2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋12sin2θ栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝1＋12(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θcos30°－sin2θsin30°)＋12sin2θ＝1＋(－sin2θsin30°)＋12sin2θ＝1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练3.化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.解：法一：原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α)＝1＋cos2β2－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换法二：原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2αcos2β＝14(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2αcos2β＝14＋14＝12.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换备选例题1.(2011·高考福建卷)若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换解析：选D.由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，即－sin2α＝－34，sin2α＝34，又因为α∈(0，π2)，所以sinα＝32，即α＝π3，所以tanα＝3.2.已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，则sin4α＝__________．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换解析：(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)．∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13.∴cos2α＝13.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)．∴sin2α＝－1－cos22α＝－1－（13）2＝－223.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2×(－223)×13＝－429.答案：－429栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换3.已知sin(π4－x)＝513，0xπ4，求cos2xcos（π4＋x）的值．解：原式＝sin（π2＋2x）cos（π4＋x）＝2sin（π4＋x）·cos（π4＋x）cos（π4＋x）＝2sin(π4＋x)．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝513，且0xπ4，∴π4＋x∈(π4，π2)，∴sin(π4＋x)＝1－cos2（π4＋x）＝1213.∴原式＝2×1213＝2413.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换课堂小结：sin22sincos2222cos2cossin=2cos1=1-2sin22tantan21tan2.思想方法：1.知识：新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换