立体几何证明题专题(教师版)

1立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】④2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．23.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．考点2：共点、共线、共面问题例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()【解析】①在A中易证PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P、Q、R、S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P、Q、R、S四点不共面．④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．【答案】D2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A3.下面三条直线一定共面的是()A．a、b、c两两平行B．a、b、c两两相交C．a∥b，c与a、b均相交D．a、b、c两两垂直答案C4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点．【解析】设α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，3由a⊂β，b⊂β，则a∩b＝O，如图(1)，或a∥b，如图(2)，若a∩b＝O，O∈a，a⊂α，则O∈α，O∈b，b⊂γ，则O∈γ，又γ∩α＝c，因此O∈c；若a∥b，a⊄γ，b⊂γ，则a∥γ，又a⊂α，α∩γ＝c，则a∥c.因此三条交线相交于一点或互相平行．5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点．(2)若在本题中，AEEB＝CFFB＝2，AHHD＝CGGD＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点．【解析】(1)∵E，H分别是AB，AD的中点，∴由中位线定理可知，EH綊12BD.又∵CFCB＝CGCD＝23，∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝23BD.∴由公理4知，EH∥FG，且EHFG.∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三直线交于一点．(2)∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC.又AHHD＝CGGD＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EFHG.∴四边形EFGH为梯形．设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD.4∴P在两平面的交线BD上．∴EH、FG、BD三线共点．考点3：异面直线的夹角1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求BD1与CE所成角的余弦值．【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的角，设AB＝1，CE＝52，ME＝12BD1＝32，CM2＝CD2＋DM2＝32.在△MEC中，cos∠MEC＝CE2＋ME2－CM22CE·ME＝1515，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为1515.2.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是______．答案53.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.35答案C解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝5＋2－125·2＝31010，选C.4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝2a2＋a2＝5a，AE＝2a22a2＋a2＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF22AE·EF＝9a2＋4a2－5a22×3a×2a＝23.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是23.5【答案】23考点4：直线与平面平行的判定与性质1.下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．答案⑤⑥解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．2.给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．答案1解析命题①错，需说明这条直线在平面外．命题②错，需说明这条直线在平面外．命题③正确，由线面平行的判定定理可知．命题④错，需说明另一条直线在平面外．3.已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．答案④解析①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都6有可能；③若a∥b，b⊂α，a∥α或a⊂α.4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.【证明】方法一如图所示．作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB.又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD，QNDC＝BQBD.∴PMAB＝QNDC.∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形．∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ.又AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK，∴APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.∴PM∥平面BCE.又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE，∴PM∥BE，∴APPE＝AMMB.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ.∴APPE＝DQBQ，∴AMMB＝DQQB.∴MQ∥AD.又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．71求证：MN∥平面CDEF；2求多面体A—CDEF的体积．解析(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝2.∴VA－CDEF＝13S四边形CDEF·AH＝13×2×22×2＝83.6.若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面()A．不存在B．有且只有一个C．可以有两个D．有无数多个答案B7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.【证明】方法一如右图，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD，8∴MEBC＝BNBD＝NFAD，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN为平行四边形．∴NM∥EF.又∵MN⊄面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP，∴DNNB＝CNNP.又CM＝DN，B1C＝BD，CMMB1＝DNNB＝CNNP，∴MN∥B1P.∵B1P⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法三如右图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥DC∥AB.∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.8.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(