二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在3031()xx的展开式中，x的幂指数是整数的共有（）A．4项B．5项C．6项D．7项【答案】C【解析】rrrrrrxCxxCT6515303303011，30......2,1,0r，若要是幂指数是整数，所以r0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．3、若2531()xx展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n，解得5n，所以2531()xx展开式的通项为10515rrrTCx，当2r时，常数项为2510C，4、二项式832()xx的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrrrrrrxCxxC)()()(T（r=0,1,,8）,显然当2r时，1123T，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(2)(13)xx的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)xx中4(13)x的展开式通项为4C(3)rrx，当第一项取2时，04C1，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x时，14C(3)12x，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin12cos2xaxdx，则6212axxx的展开式中常数项是．【答案】332332200sin12cossincos(cossin)202xaxdxxxdxxx，61()axx61(2)xx的展开式的通项为6631661(2)()(1)2rrrrrrrrTCxCxx，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2TCC332．二、求特定项系数或系数和7、8(2)xy的展开式中62xy项的系数是（）A．56B．56C．28D．28【答案】A【解析】由通式rrryxC)2(88，令2r，则展开式中62xy项的系数是56)2(228C．8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是．【答案】15【解】61x的通项16rrrTCx，令2r可得2615C．则61xx中3x的系数为15.9、在6(1)(2)xx的展开式中含3x的项的系数是．【答案】-55【解析】6(1)(2)xx的展开式中3x项由336)(2xC和226)(x-xC）（两部分组成，所以3x的项的系数为552-2636CC．10、已知dxxn16e1，那么nxx）（3展开式中含2x项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln|6endxxx，则nxx）（3中，由二项式定理的通项公式1rnrrrnTCab，可设含2x项的项是616(3)rrrrTCx，可知2r，所以系数为269135C．11、已知10210012101111xaaxaxaxL，则8a等于（）A．－5B．5C．90D．180【答案】D因为1010(1)(21)xx，所以8a等于8210(2)454180.C选Ｄ．12、在二项式321()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22nrnrrrrrrrnnTCxxCx，由题意得，当且仅当4n时，rnC取最大值，∴8n，第4项为119(163)333381()72Cxx．13、如果7270127(12)xaaxaxax，那么017aaa的值等于（）（A）－1（B）－2（C）0（D）2【答案】A【解析】令1x，代入二项式7270127(12)xaaxaxax，得70127(12)1aaaa，令0x，代入二项式7270127(12)xaaxaxax，得70(10)1a，所以12711aaa，即1272aaa，故选A．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7=﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*1(3)()nnNx的展开式中，所有项的系数和为32，则1x的系数等于．【答案】270【解析】当1x时，322-n，解得5n，那么含x1的项就是xxC1270313225，所以系数是-270.17、设0(sincos)kxxdx，若8822108)1(xaxaxaakx，则1238aaaa．【答案】0.【解析】由00(sincos)(cossin)kxxdxxx(cossin)(cos0sin0)2，令1x得：80128(121)aaaa，即01281aaaa再令0x得：80128(120)000aaaa，即01a所以12380aaaa18、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为.【答案】150解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0.解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n的展开式的通项公式为Tr+1=？（5x）4﹣r？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r？．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设8877108)1(xaxaxaax，则178aaa．【答案】255【解析】178aaa87654321aaaaaaaa，所以令1x，得到82876543210aaaaaaaaa，所以2551256-20887654321aaaaaaaaa三、求参数问题20、若312nxx的展开式中第四项为常数项，则n（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(nnnnxCxxCT，第四项为常数，则必有025n，即5n，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*Nnxn的展开式中2x的系数为15，则n（）A、5B、6C、8D、10【答案】B【解析】二项式)()1(*Nnxn的展开式中的通项为knknkxCT1，令2kn，得2nk，所以2x的系数为152)1(22nnCCnnn，解得6n；故选B．22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T=Crrrax，∴当43r，即1r时，133324T=C48,2axaxxa．23、若411xax的展开式中2x的系数为10，则实数a（）A．10或1B．53或1C．2或53D．10【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14rrrrTCax，∴22144101CaCaa或53，故选B．24、设23(1)(1)(1)(1)nxxxx2012nnaaxaxax，当012254naaaa时，n等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C．【解析】令1x，则可得2312(21)22222225418721nnnnn，故选C．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为()【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，