还说鸡爪定理

1还说鸡爪定理鸡爪定理的运用还有很多，今天继续盖楼，把鸡爪定理这个构型进一步充实。1、已知I为△ABC内心，P在△ABC内部，且∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.求证：AP≥AI,且等号成立的充要条件是P=I，（2006年第47届IMO）思路分析：必然先确定P点位置，易得∠BPC=∠BIC,从而得证。证明：∠BPC=∠BAC+∠PBA+∠ACP=∠BAC+0.5(∠CBA+∠ACB)=90°+0.5∠BAC=∠BIC,设AI交ABC外接圆于M，由鸡爪定理得P在以M为圆心，MI为半径的圆上运动；故AI+IM=AM≤AP+PM,即AP≥AI,且等号成立的充要条件是P=I。2注：本题关键是确定P的轨迹。2、已知：BC为圆O的直径，A为圆O上一点，∠AOB120°,D是弧AB（不含C）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA中垂线交圆O于E,F,证明：I是△CEF内心(2002年第43届IMO)思路分析：由中垂线得AO=AE，以下倒角证明AI=AO即可；证明：依题意∠AIO=90°-∠DAB=90°-∠DCA=90°-0.5∠ACO=90°-0.5∠OAI,故△AOI高线与角平分重合，则AI=AO；由EF为AO中垂线知AE=EO=OA=AI=AF,由鸡爪定理逆定理即得I为△CEF内心；3注：本题叙述略有些特别，事实上它就是上一篇文章中例1中60°三角形的基本性质；3、已知：D是锐角三角形ABC的BC弧中点，X在弧BD上，E为弧ABX中点，S在弧AC上，SD交BC、SE交XA于R、T，RT//DE,求证：△ABC内心在RT上；（2011CMO）证明：设AD交RT于J，SJ交圆于K，依题意∠SAD=∠SED=∠STJ,故SATJ共圆；则∠ESK=∠DAX,故∠DSK=∠XAE=∠EXA=∠ESA=∠AJT=∠RJD,从而DJ^2=DR*DS=DC^2，由鸡爪逆定理知J为ABC内心，即△ABC内心在RT上。4注：1、）本题条件有点多，图形略复杂，解题关键在于充分利用条件，得到共圆，及角相等（等价于XK//DE），后面充分使用鸡爪定理即可；2、）相关的问题有不少值得研究，例如本题图形如何尺规作图，由解答过程即得XK//DE,因此只要SJK共线即能保证RJT共线；当然本题解法很多，这个是我发现的一种解法，相信读者也能发现自己的解法。4、已知：ABCD四点共圆，AC交BD于P，△ADP外接圆交AB于E，△BCP外接圆交AB于F，△ADE,△BCF内心为I,J,IJ交AC于K。求证：AKIE共圆；（2017CMO）方法1,思路分析：由内心想到鸡爪定理，显然SPT共线，欲证共圆，即证SP//IJ,即I、J到ST等距，稍加转化计算即成相交弦定理；证明：如图，设EI交ADP外接圆于S，FJ交BCP外接圆于T，则S为AD弧中点，2∠SPA=∠DPA=∠CPB=2∠CPT,故SPT共线；5由鸡爪定理得SIsin∠ESP=SDsin∠EAP=sin∠EAP*sin∠DPS*AP/sin∠ADP=BPsin∠PBA*sin∠CPT/sin∠BCP=TJsin∠JTP即I、J到ST等距，即SP//IJ，则∠IKP=∠SPK=∠SEA,故AKIE共圆；思路2：发现PK=PE=PF=PL，下面用同一法即可证明2：设AEI外接圆交AP于K'，K'I交DB于L'，则2∠PK'I=2∠AEI=∠AED=∠APD,故PK'=PL';∠K'EA=∠K'IA=∠PK'I-∠K'AI=0.5∠DPA-0.5∠DAE+∠DAP∠K'EP=180°-∠K'EA-∠PEB=180°-0.5∠DPA+0.5∠DAE-∠DAP-∠ADP=∠DPA-0.5∠DPA+0.5∠DAE=0.5∠DPA+0.5∠DAE=0.5∠DEA+0.5∠DAE=∠AIE=∠AK'E,故∠PEK'=∠PK'E,又∠PEF=∠ADB=∠ACB=PFE,故PK'=PE=PF=PL',由对称性知J在K'L'上，从而K'与K重合，即AKIE共圆注：1）上述两种解法各有千秋，第一种是官方提供的解答，主要6利用鸡爪定理和平行，第二种是我的想法，关键在于发现四个线段相等，后面同一法不难，虽然没有用到鸡爪定理，但是也充分利用了内心的性质。通过这个证明也告诉大家学习不要太死板，例如这几篇文章中的题目基本都能用鸡爪定理证明，但是条条大路通罗马，也完全可以利用的其他的方法解决。2）本题图形也较复杂，其实蕴含了丰富的其他性质，建议大家趁热打铁，继续发掘此图进一步的性质。5、已知：D为△ABC内切圆I与BC切点，AI交ABC外接圆O于M,MD交圆O于P。求∠API（2015中国香港地区代表队选拔考试）解：由鸡爪定理得MI(^2)=MD*MP则∠DIM=∠MPI,则∠API=∠APM-∠MPI=∠ABM-∠MID=∠AJC-∠MID=90°注：本题虽然简单，但是由证明知更一般的,D在BC上时,有∠API=∠IDJ,这样就能把第二篇《再说鸡爪定理》中的例5和此题统一在了一起，而且此题与第三篇《又说鸡爪定理》中的例1也有些神似，希望读者学会联系和融会贯通。6已知：I为△ABC内心,∠B∠C,T是ABC外接圆弧BAC中点，AE//BC,∠AEI=90°,TE与ABC外接圆交于P，若∠B=∠IPB,7求∠A，思路分析：和上题套路类似，作出BC弧中点M，发现IE//MT，∠API=90°，后面就显然了。解：设BC弧中点M，外接圆圆心为O，PI交圆O于J，显然AIM、TOM共线，TM⊥BC,∠AIE=90°-∠EAI=90°-∠AKB=∠M=∠APT,故IE//MT且APIE共圆；故∠API=90°，则AOJ共线，故∠B=∠IPB=∠JAB=90°-∠C,故∠A=90°。注：本题本来有些难度，但是在我们熟悉鸡爪构型的条件下就是简单题了。其实题目难度就是取决于你对此类构型的熟悉程度。