(新)华师版九年级数学下26.2.1_二次函数的图象与性质(第1课时)

二次函数的定义：注意：1、x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数bx是一次项，b是一次项系数c是常数项。一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。2、函数的右边最高次数为2;可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.回顾1回顾2反比例函数y=k/x的图象一次函数y=kx+b的图象二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线K0K0K0K0函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做x的二次函数.什么叫二次函数?我们学过用什么方法画函数的图象?主要有哪些步骤?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：用描点法画二次函数y=x2的图象xy=x20123…-1-2-3…0149…149…描点,连线Y=x2?xy01234-1-2-3-4-1123456(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点.(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y的值如何变化？在对称轴右侧呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？2xy这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最高点或最低点二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线。二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c。知识要点抛物线(１)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…y=x2x0123…-1-2-3…0149…149…2xy在对称轴的左侧时,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧时,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…2xy在对称轴的左侧时,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧时,y随着x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.y=x2x0123…-1-2-3…0149…149…抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:y=x2y=-x2xy0yx0１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值2xy2xy1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2.由上图回答下列问题：(1)抛物线y=3x2的对称轴是,顶点坐标，当x时抛物线上的点在x轴的上方；(2)抛物线y=-x2的开口向,顶点外抛物线上其它点都在x轴方，抛物线顶点是最点；(3)不画图像，说出抛物线y=-4x2和y=1/4x2的开口方向对称轴顶点坐标；1.画出下列函数图像:(1).y=3x2(2):y=-x213134；设圆的半径为r，面积为s⑴试写出s与r之间的函数关系？⑵画出函数图像。y轴(0,0)≠0向下下大值开口向上；对称轴为y轴，顶点坐标(0,0).开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标(0,0).S=πr2(r0)1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标;(4)若点(m,n)在此抛物线上,那么点(-m,n)是否在此抛物线上?点(m，-n)呢?解：∵y=ax2经过点A(-2,-8)∴-8=a(-2)2解得：a=-2∴y=-2x2(1)当x=-1时∵y=-2x(-1)2=-2≠-4∴B(-1,-4)不在此抛物线上(2)当y=-6时∵-6=-2x2(2)解得：x=±3√∴(-3,-6)或(-3,-6)√√∵n=a(-m)2=am2∴(-m,n)在抛物线上而点(m,-n)不再抛物线上(4)2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是_____;对称轴是______;在___________侧,y随着x的增大而增大;在_________侧,y随着x的增大而减小;当x=时,函数y的值最小,最小值是;抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).（0,0）y轴对称轴的左0对称轴的右0上(2)抛物线在x轴的方(除顶点外),当x_____时,y随着x的增大而增大；当x_____时,y随着x的,增大而减小当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____,当x0时,y0.232xy下000例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．222,21xyxy解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx84.520.5084.520.584.520.5084.520.5－222464－48212yx22yx2yx函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？222,21xyxy－222464－48212yx22yx2yx相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxyx···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－22－2－4－64－4－8212yx22yx2yx对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．下高大2xy2xy抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴上方(除顶点外)在x轴下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.y=x2、y=-x2y＝ax2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减达标测试1.已知，二次函数图像经过点A(-2,4).求出这个函数关系式。2.二次函数3.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线上，则线段PQ的长是（）22yx12120xxyy当时，则与的大小关系是（）2yx2yax1.课本P练习。2.课本P习题26.。3.跟踪练习册作业书痴者文必工，艺痴者技必良。——蒲松龄