2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

如图,等边三角形ABC中,求：（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；（2）AB与BC的夹角________．ABC通过平移变成共起点！12060'CD0120问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs┓位移SOA一个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功W=θ表示力的方向与位移的方向的夹角。θFFθScosSF我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。cosSFW||a||bcosba这就是本节课所要学习的平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积),记作.abbacosbaabcosbaba规定：零向量与任意向量的数量积为0．00a注意：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量．(2)两个向量的数量积称为内积，写成．abab即abab注意：(3)向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是一回事．数量积的结果是一个数量(实数)；实数与向量的积(数乘)还是一个向量．||||cosabab，求的夹角为与，，已知例obaba12045:1ba解：baoba120cos10)21(42练习：课本106页1为正；时当ba___________;___________为负时当baab当_______时为零;abab当______时=||||;||||.abab当______时09090180900180ba垂直即此时两向量||||cosabab向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为负，何时为零？练习：课本106页2向量数量积的性质是非零向量、设ba当且仅当两向量共线时等号成立______;0)1(baba；同向时，与当______)2(baba||||ba._______)3(baba反向时，与当||||ba._____||____2aaaa或特别地2||a2a(4)||___||||abab.,90,0cos,0cos||||,0bababa则||||,1cos,0baba则2||||||,1cos,0aaaaa||||,1cos,180baba则(B1)┐B1┐B1如图，作出││cosθ，并说出它的几何意义；││cosθ的几何意义有是什么？baaOBBABAOOAθθ┓θ(1)(2)（3）baabb平面向量数量积几何意义││cosθ叫做向量在向量方向上的投影，││cosθ叫做向量在向量方向上的投影.bbbaaaB1OABbaA1OABbacos||1aOAcos||1bOB叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.ba)cos(cosbaba向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab1BOABab)(1BBOAab1BOABbaOABba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcoscos.abaabab数量积等于的长度与在的方向上的投影数量的乘积abBAO平面向量数量积的几何意义:cos||bcosbaba1．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴上的投影为()A．－53B．5C．－5D．53全优92页限时规范训练A【例3】已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．125解析：∵cosθ＝a·b|a||b|＝45(θ为a与b的夹角)，∴|a|·cosθ＝125.全优57页典例剖析平面向量数量积的运算率:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：abba)()()(bababacbcacba)(数量积不满足结合律和消去率)()(cbacbabacbca(1)||cos.eaaea(2)0.abab;)3(bababa同向时，与、当.bababa反向时，与当aaaaaa2或特别地，(4)cos,||||abab(5)||||||.abab)(2aaa可简写成B1bBaAOe为非零向量，为单位向量，bae,1．下列命题中正确的是()A．|a·b|＝|a|·|b|B．a·b≠b·aC．(λa)·b≠a·(λb)D．非零向量a与b的夹角余弦值为a·b|a||b|D全优58页基础夯实3．在△ABC中，三个式子AB→·AC→≤0，BA→·BC→≤0，CA→·CB→≤0中可以成立的()A．至少1个B．至多1个C．一个也没有D．三式可以同时成立B3．(2015年广州综合测试)在△ABC中，若AB→·AC→＝AB→·CB→＝2，则边AB的长等于________．2全优92页限时规范训练例2.证明：2222)(1bbaaba）（22)()2bababa（）（）（）（））（证明：（bababa21bbabbaaa222bbaabbbabaaababa))()(2(例2.证明：2222)(1bbaaba）（22)()2bababa（）（22ba例3.已知求）（）（baba32bbbabaa6232，的夹角为与60,4||,6||baba)3()2(baba解：bbbaa6222||6cos||||||bbaa7216660cos4636互相垂直？与向量值时，为何不共线，与且已知例bkabkakbaba,4||,3||.40)()bkabka（解：由题意可知0222bka即16,922ba又01692k43k练习：课本108页7，的夹角为与解：设ba)2()32(baba∵22||362||4bbabaa22||34||4bbaa27cos||||4-64ba61cos4837,21cos120练习：课本108页3||ba解：2325)3(242)(ba22||2||bbaa||ba3525)3(242)(ba22||2||bbaa5．已知|a|＝4，|b|＝2且a与b的夹角为120°.求：(1)|2a－b|；【解析】(1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4×16－4×4×2×－12＋4＝84，所以|2a－b|＝221.(2)(a－2b)·(a＋b)；(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝42－4×2×－12－2×22＝12.全优92页限时规范训练5．已知|a|＝4，|b|＝2且a与b的夹角为120°.求：【解析】全优92页限时规范训练(3)a与a＋b的夹角；(3)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×2×－12＋4＝12，所以|a＋b|＝23.又a·(a＋b)＝a2＋a·b＝42＋4×2×－12＝12，设a与a＋b的夹角为θ，则由cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|＝124×23＝32，可得a与a＋b的夹角θ为π6.5．已知|a|＝4，|b|＝2且a与b的夹角为120°.求：【解析】全优92页限时规范训练(4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．(4)因为(a－b)⊥(λa＋b)，所以(a－b)·(λa＋b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，也就是16λ－4(1－λ)－4＝0，解得λ＝25.8．m，n为单位向量，夹角为60°.(1)求(3m＋5n)与(2m－n)的夹角的余弦值．【解析】(1)由已知，得m·n＝12，∴(3m＋5n)·(2m－n)＝92，|3m＋5n|＝3m＋5n2＝7，|2m－n|＝3，∴cosθ＝3314，即所求夹角的余弦值为3314.全优58页能力提高8．m，n为单位向量，夹角为60°.(2)若(2m－n)与(km＋n)夹角为120°，求k.【解析】全优58页能力提高(2)已求得|2m－n|＝3，又|km＋n|＝k2＋k＋1，(2m－n)·(km＋n)＝32k，∴32k＝3·k2＋k＋1·cos120°，解得k＝1(舍去)或k＝－12.∴k＝－12.