ICOWA算子的区间组合预测模型

统计与决策２０16年第17期·总第461期ICOWA算子的区间组合预测模型沈永昌1，袁宏俊2，宋马林2（1.滁洲学院数学与金融学院，安徽滁州232000；2.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030）摘要：文章针对区间数的预测问题，将Theil不等系数和诱导连续有序加权平均（ICOWA）算子结合，建立了基于Theil不等系数的ICOWA算子的区间组合预测模型。针对该模型建立了评价体系，并提出了优性区间组合预测、非劣性区间组合预测和劣性区间组合预测等概念，最后通过实例分析，得出该区间组合预测是合理的和有效的。关键词：Theil不等系数；ICOWA算子；区间组合预测；评价体系中图分类号：O212文献标识码：A文章编号：1002-6487（2016）17-0066-04基金项目：国家社会科学基金青年项目(13CTJ006)作者简介：沈永昌（1990—），男，安徽石台人，硕士，研究方向：统计方法和理论。袁宏俊（1978—），男，安徽庐江人，硕士，副教授，研究方向：预测与决策分析。宋马林（1972—），男，安徽蚌埠人，教授，研究方向：数量经济。0前言20世纪70年代，Bates和Granger在预测领域首次创造性的提出了组合预测方法。由于传统的单个预测模型预测时存在利用信息源偏少，预测结果往往不够精确，而组合预测是综合利用各个单项预测方法的有效信息，以一定的技术方法进行有效信息的集合，从而使预测结果更加可靠。因此，组合预测方法的研究引起了国内外学者的广泛关注，也取得了很多成果。而对组合预测的研究主要分为两个方面，一方面着重研究集成算子、误差指标以及相关性指标，另一方面是由点预测拓展到区间预测。组合预测发展前期主要集中于点的预测，即实际值和预测值都是一个数，现实生活中很多数据都是给出一个范围值，及实际值是组区间数，则对组合预测方法提出新的挑战。沈家骅、严振祥（2006）[1]通过运用区间数的形式描述组合预测系数，建立区间组合预测模型，结果显示相对于点预测，区间预测更贴近实际。王晓等（2010）[2]对区间数在组合预测中的运用做了初步的研究，建立了一种新的基于IOWA算子的区间预测模型。袁宏俊等（2011）[3]建立了两端点的变权系数多目标最优组合预测模型。金飞飞（2013）[4]把诱导有序加权平均（IOWA）和连续有序加权平均（COWA）相结合提出了诱导连续有序加权平均（ICOWA）算子，并进行了实例分析。在对相关性指标Theil不等系数和诱导连续有序加权算子（ICOWA）进一步研究后，本文把二者结合在一起，并运用到区间数预测上，提出了基于Theil不等系数的ICOWA算子的区间组合预测模型。为了更好地评价模型优劣，建立了相应评价体系，并提出了优性区间组合预测、非劣性区间组合预测和劣性区间组合预测等概念，通过实例分析，得出该区间组合预测是合理的和有效的。1基本概念方法应用度。所以本文提出的一类n=2时的严格πPS抽样方法具有潜在的实用价值。参考文献：[1]BrewerKWR,HanifM.SamplingWithUnequalProbabilities[M].Hei⁃delberg:Springer-Verlag，1983.[2]HorvitzDG,ThompsonDJ.AGeneralizationofSamplingWithoutRe⁃placementFromAFiniteUniverse[J].JournaloftheAmericanStatisti⁃calAssociation,1952,47(260).[3]SahooLN,DasBC,SinghGN.ANoteonAnIPPSSamplingScheme[J].AstaAdvancesinStatisticalAnalysis,2006,(90).[4]YatesF,GrundyPM.SelectionWithoutReplacementFromWithinStrataWithProbabilityProportionaltoSize[J].JournaloftheRoyalSta⁃tisticalSociety,1953,15(2).[5]AsokC,SukhatmeBV.OnSampford'sProcedureofUnequalProbabili⁃tySamplingWithoutReplacement[J].JournaloftheAmericanStatisti⁃calAssociation,1976,71(356).[6]MukhopadhyayP.TheoryandMethodsofSurveySampling[M].NewDelhi：Prentice-HallofIndia,1998.[7]冯士雍,施锡铨.抽样调查—理论,方法和实践[M].上海:上海科技技术出版社,1994.[8]薛毅,陈立萍.R统计建模与R软件[M].北京：清华大学出版社,2007.（责任编辑/亦民）DOI:10.13546/j.cnki.tjyjc.2016.17.01966统计与决策２０16年第17期·总第461期定义1[5]：设[a,b]为区间数，令：fg([ab])=01dg(y)dy(b-y(b-a))dy（1）其中函数g：[0,1]®[0,1]且满足：g(0)=0；g(1)=1；若xy则g(x)³g(y)这样的函数g称为基本单位区间单调（BUM）函数。其中称f为连续有序加权平均（COWA）算子。称λ=1-01y(dg(y)/dy)dy为BUM函数g的态度参数。则可得：fg([ab])=λb+(1-λ)a（2）定义2：记x=[xLxU]={xL£x£xU}，且xLxUÎR,称x为一组区间数。定义3[6]：令eit=fg(xt)-fg(xit)fg(xt)，i=12mt=12N(3)则称eit是第i种单项预测方法第t时刻基于连续有序加权平均算子的区间预测的相对误差。定义4：令ait=ìíîïï1-||eit当0£||eit1时0当||eit1时（4）称ait为第i种单项预测方法第t时刻基于连续有序加权平均算子下的区间预测精度。显然aitÎ[01]，i=12mt=12N在组合预测中，把基于COWA算子下的预测精度ait作为区间预测值xit得诱导变量，此时，其预测精度和对应的在样本区间的区间预测值数据构成了m个二维数组a1tx1ta2tx2tamtxmt。将a1ta2tamt按逆序的顺序排列。记a-index(it)是a1ta2tamt的第i个大的COWA算子的预测精度的下标。定义5[6]：令x̂t=ICOWA(a1tx1ta2tx2tamtxmt)=åi=1mliCOWAxa-index(it)（5）为第t时刻在COWA算子下的区间预测精度序列a1ta2tamt所产生的ICOWA算子的区间组合预测值。定义6[6]：令ea-index(it)=COWA(xt)-COWA(xa-index(it))i=12mt=12N（6）称ea-index(it)为由区间预测精度序列a1ta2tamt作为诱导变量所产生的第i大的基于ICOWA算子的预测误差。定义7[6]：令et=COWA(xt)-x̂tt=12N（7）称et为第t时刻基于ICOWA算子的区间组合预测误差。对式（7）进行处理得：et=COWA(xt)-x̂t=COWA(xt)-åi=1mliCOWAxa-index(it)=åi=1m(COWA(xt)-COWA(xa-index(it)))=åi=1mliea-index(it)（8）定义8：令τ=åt=1N(COWA(xt)-x̂)2åt=1N(COWA(xt))2（9）τi=åt=1N(COWA(xt)-COWA(xit))2åt=1N(COWA(xt))2i=12m（10）则τ为基于ICOWA算子组合预测值序列与实际值序列的theil不等系数。显然Theil不等系数取值区间为[0¥)，τ值越小表示组合预测预测精度越高，当COWA(xt)=x̂,表示组合预测准确无误。åt=1N(COWA(xt)-x̂)2=åt=1N(åi=1mliea-index(it))2=åt=1N(åi=1måj=1mliljea-index(it)ea-index(jt))2=åi=1måj=1mlilj(åt=1Nea-index(it)ea-index(jt))在令Fij=åt=1Nea-index(it)ea-index(jt)ij=12m则称F=(Fij)m´m为m阶ICOWA算子的区间组合预测误差信息方阵，因此：åt=1N(COWA(xt)-x̂)2=åi=1måj=1mlilj(åt=1Nea-index(it)ea-index(jt))=åi=1måj=1mlilj(Fij)=LTFL（11）则可知基于ICOWA算子组合预测值序列与实际值序列的theil不等系数τ为：τ=LTFLåt=1N(COWA(xt))2（12）2预测模型设某社会经济现象的指标实际值为{xt=[xLtxUt]t=12N},设有m种单项预测方法对其进行预测，xit表示第i种单项预测方法在第t时刻的预测值。第i种单项预测方法在组合预测中的加权系数为li，且满足：åi=1mli=1li³0i=12m根据连续有序加权平均的组合预测原理，则有：x̂t=åi=1mliCOWAxa-index(it)其中x̂t表示指标序列在第t时刻的区间组合预测值。则基于Theil不等系数的ICOWA区间组合预测模型为：minτ(l1l2lm)=L′FLåt=1N(COWA(xt))2S.T.ìíîïïåi=1mli=1li³0i=12m方法应用67统计与决策２０16年第17期·总第461期定义：若τ(l*1l*2l*m)min(τi)，则称由l*1l*2l*m确定的区间组合预测模型是优性区间组合预测；若τ(l*1l*2l*m)max(τi)，则称由l*1l*2l*m确定的区间组合预测模型是劣性区间组合预测；若min(τi)£τ(l*1l*2l*m)£max(τi)，则称由l*1l*2l*m确定的区间组合预测模型是非劣性区间组合预测。3实际应用为了进一步说明基于Theil不等系数的ICOWA算子的区间组合预测模型在预测区间数时的有效性，下面进行实例分析。为了评价预测结果的有效性，建立起评价指标体系Η，此体系包含5个指标，分别为区间误差平方和（ISSE）、区间均方误差（IMSE）、区间平均绝对误差（IMAE）、区间平均绝对百分比误差（IMAPE）和区间均方百分比误差（IMSPE）。其中：ISSE=åt=1N(COWA(xt)-COWA(x̂t))2IMSE=1Nåt=1N(COWA(xt)-COWA(x̂t))2IMAE=1Nåt=1N||COWA(xt)-COWA(x̂t)IMAPE=1Nåt=1N||||||||COWA(xt)-COWA(x̂t)COWA(xt)IMSPE=1Nåt=1NéëêùûúCOWA(xt)-COWA(x̂t)COWA(xt)2以上五个指标都是越小越好，具有同方向性，则不需要进行同趋势化处理，但数据差异较大，为满足数据的可比较性，对所得数据进行Min-max标准化处理。这样所得数据就在区间[0,1]之间了。则可得到：Η=IMSPE*+ISSE*+ISSE*+IMAE*+IMAPE*5（其中*表示已进行处理的数据）3.1模型构建与求解本文所用数据来自徐惠莉（2008）[7]论文中的数据，实际区间数xt和三种单项预测方法预测的区间数数据如表1所示。表1实际区间数和三种单项预测法预测的区间数t123456xt[3.0,4][5.5,6][4,6][6,10][6.6,8.8][9,11]x1t[2.4,5][2.2