[原创]2011届高考数学考点专项复习课件39导数的应用

[原创]2011届高考数学考点专项复习课件39导数的应用一、复习目标理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际问题.二、重点解析(2)用f(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考查各区间上f(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间.注意若f(x)在(a,b),(b,c)单调递增(减),且f(x)在x=b处连续,则f(x)在(a,c)单调递增(减).1.利用导数判断单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f(x);(3)求f(x)=0的根;2.求函数极值的步骤:(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在该点处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在该点处取极小值.(1)求导数f(x);(2)求出f(x)=0或f(x)不存在的所有的点;3.连续函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(1)求极值;(2)把极值和f(a),f(b)相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;1.函数的单调性三、知识要点(1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)0,则y=f(x)为减函数,(2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间单调递增(或减),则在该区间内f(x)≥0(或f(x)≤0).注当f(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例f(x)=x3在(-1,1)内,f(0)=0,f(x)0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.极大值与极小值统称为极值.是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)2.函数极值的定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作:y极大值=f(x0);3.判断f(x0)是极值的方法(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.一般地,当函数f(x)在点x0处连续时4.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程f(x)=0的根;5.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x)=x,x(-1,1).6.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)求导数f(x);(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.典型例题1已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.解:由已知,f(x)=3ax2+6x-1.而3ax2+6x-10(xR)当f(x)0(xR)时,f(x)是减函数.由y=x3在R上为增函数知,a=-3时,f(x)(xR)是减函数.a-3.又当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1当a-3时,在R上存在一个区间,其上有f(x)0,∴当a-3时,f(x)不是减函数.综上所述,a的取值范围是(-∞,-3].a0,△=36+12a0.=-3(x-)3+,1389典型例题2求下列函数的最值:(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x[-1,1].解:(1)∵f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3[(x-1)2+1]0恒成立,(2)y=x3-3x+3,x[-,].3252∴f(x)在[-1,1]上单调递增.∴f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.(2)y=3x2-3.令y=0,得x=-1或1.∵-1,1[-,],3252且当x取-,-1,1,时的函数值分别为3252,5,1,.833889∴当x=1时,ymin=1,当x=时,ymax=.52889典型例题3已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,∴f(x)=3x2-2ax-4.(2)由f(-1)=0得,a=.12∴f(x)=3x2-x-4.由f(x)=0得,x=-1或.43∵f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,92432750∴f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-.922750(3)∵f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),∴由题设得f(-2)≥0且f(2)≥0.∴8+4a≥0且8-4a≥0.∴-2≤a≤2.故a的取值范围是[-2,2].典型例题4又f(x)的图象过点P(0,1),此时f(x)=ax4+cx2+1,偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,(1)求y=f(x)的解析式;(2)求y=f(x)的极大(小)值.∵函数在x=1处的切线方程为y=x-2,切线的斜率为1.解:(1)∵f(x)是偶函数,∴b=d=0.∴e=1.f(x)=4ax3+2cx.∴1=f(1)=4a+2c.即4a+2c=1.①∵切线的切点在曲线上,∴a+c+1=-1.②由①,②得:a=,c=-.52929252∴f(x)=x4-x2+1.典型例题4由f(x)=0得:当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:解:(2)由(1)知,f(x)=10x3-9x.当x=0时,f(x)极大值=1.x=0或.31010由上表可知:当x=时,f(x)极小值=-;310101110xf(x)f(x)103(-∞,-)103103103103103-(-,0)0(0,)(,+∞)-0+0-0+极小值极大值极小值偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,(1)求y=f(x)的解析式;(2)求y=f(x)的极大(小)值.典型例题5设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.解:(1)∵函数f(x)的图象过点P(t,0),∴f(t)=0t3+at=0.∵t0,∴a=-t2.又∵函数g(x)的图象也过点P(t,0),∴g(t)=0bt2+c=0.∴c=ab.∵两函数的图象在点P处有相同的切线,∴f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,∴3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.∴c=ab=-t3.综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.(2)方法一y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y=(3x+t)(x-t)0时,y=f(x)-g(x)为减函数.由y0,若t0,则-xt;若t0,则tx-.3t3t∵函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,∴(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-).3t3t∴t≥3或-≥3.3t∴t≥3或t≤-9.∴t的取值范围是(-∞,-9]∪[3,+∞).(2)方法二y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=(3x+t)(x-t).∵函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,∴y=(3x+t)(x-t)≤0对于x(-1,3)恒成立.则y|x=-1≤0且y|x=3≤0.即(-3+t)(-1-t)≤0且(9+t)(3-t)≤0.解得t≥3或t≤-9.∴t的取值范围是(-∞,-9]∪[3,+∞).典型例题6已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.(1)解:∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立.∴d=0.∴f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.∵当x=1时,f(x)取得极值-2,∴f(1)=-2且f(1)=0.∴a+c=-2且3a+c=0.∴a=1,c=-3.∴f(x)=3x2-3.由f(x)0得-1x1;由f(x)0得x-1或x1.∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.∴当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2.故函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);f(x)的极大值为2.典型例题6已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.(2)证:由(1)知f(x)=x3-3x在[-1,1]上是减函数,且f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在[-1,1]上的最小值m=f(1)=-2,∴对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f(-1)=f(1)=0.解得a=1,b=0.∴3a-2b-3=0且3a+2b-3=0.∴f(x)=3x2-3.由f(x)0得-1x1;课后练习1已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.由f(x)0得x-1或x1.∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.∴f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.∴点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则y0=x03-3x0.∵f(x0)=3x02-3.∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).∵点A(0,16)在切线上,∴16-(x03-3x0)=(3x02-3)(-x0).化简得x03=-8.∴x0=-2.∴切线方程为y-(-8+6)=9(x+2),即9x-y+16=0.课后练习2已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=ab在区间(-1,1)是增函数,求t的取值范围.解:由题设f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2