1.3.1函数的单调性与导数(二)

ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减一、复习回顾：注：若在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常函数。例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx(2)f(x)＝exx－2解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝2x－1x＝2x－12x＋1x.因为x0，所以2x＋10，由f′(x)0得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)0得x22，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.题型一、利用导数求函数单调区间(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).小结(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.变式：已知函数，讨论函数的单调性。)0(ln12)(axaxxxf例2如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.解(1)→B(2)→A(3)→D(4)→C题型二、函数的变化快慢与导数的关系练习：已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()D题型三、用导数证明函数的单调性【例3】证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．证明：f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．【例4】当x＞0时，证明不等式ln(x＋1)＞x－12x2.题型四、用单调性与导数关系证明不等式利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，证明f(x)在(0，＋∞)上单调增，由f(x)f(0)＝0证得．[规范解答]令f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－12x2成立．【例4】当x＞0时，证明不等式ln(x＋1)＞x－12x2.题型四、用单调性与导数关系证明不等式证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x练习：当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.【例5】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．题型五、已知函数单调性求参数的取值范围[思路探索]解f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.【例5】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．题型五、已知函数单调性求参数的取值范围∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞)有且只有f′(2)＝0)∴a的取值范围是(－∞，16]．结论：函数f(x)在区间(a,b)内：f(x)在(a,b)内单调递减f(x)在(a,b)内单调递增0)(xf0)(xf变式1：已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.【解答】函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1.由f′(x)=3ax2+6x-1≤0(x∈R)得∴a≤-3；当a=-3时，f′(x)=-9x2+6x-1=-(3x-1)2，只在时，f′(x)=0，f(x)仍是R上的减函数.∴所求a的取值范围是(-∞,-3］.a0,0＜1x3【变式2】(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．【变式2】(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．2.已知函数f(x)=2ax-x3(a0),若f(x)在[0,1]上是增函数，求a的取值范围12)(23axxxf)2,0(1.函数的递减区间是，则常数a的值为．练习：3.已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以()0≥fx对1,1x恒成立，即220≤xax对1,1x恒成立，解之得：11≤≤a所以实数a的取值范围为1,1．