江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是．2．（5分）过两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，则m的值是．3．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=．4．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b=ab，则a+b的最小值是．5．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．6．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为．7．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是．8．（5分）已知等比数列的前n项和为Sn，若S3：S2=3：2，则公比q=．9．（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为，的取值范围．10．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是．11．（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是．12．（5分）若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（﹣1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为．14．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an2+≥ma12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c﹣b）cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？19．（16分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx﹣4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．20．（16分）已知数列{an}满足：a1=，a2=，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N•），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{bn}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．2．（5分）过两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，则m的值是0．考点：直线的倾斜角；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：利用直线的斜率关系求解即可．解答：解：两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，可得，解得m=0，故答案为：0．点评：本题考查直线方程的应用，直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查．3．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=17．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的等差数列的前两项之和，和S4﹣S2，根据三项成等差数列，根据等差数列的性质做出结果．解答：解：∵等差数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，∴S2=1，S4﹣S2=9，∴S6﹣S4=2×9﹣1=17．故答案为：17．点评：本题考查等差数列的性质，在等差数列中Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n三项成等差数列，这是常用的等差数列的性质．4．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b=ab，则a+b的最小值是9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得+=1，可得a+b=（a+b）（+）=5++，由基本不等式求最值可得．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+4b=ab，∴=1，即+=1，∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9当且仅当=即a=6且b=3时取等号，故答案为：9点评：本题考查基本不等式求最值，适当变形是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．解答：解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理．6．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=，圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求解答：解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4故答案为：4点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值7．（5分）设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是①③．考点：平面与平面平行的判定．专题：阅读型．分析：根据线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定，不正确的举反例即可．解答：解：：①若a∥b，a⊥α，根据两平行线中一条垂直与平面，则另一条也垂直与平面，所以b⊥α，故正确；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故不正确；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β，根据垂直与同一直线的两平面平行可知，正确；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故不正确；故答案为：①③点评：本题考查平面与平面平行的判定，以及线面垂直的判定定理等有关知识，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）已知等比数列的前n项和为Sn，若S3：S2=3：2，则公比q=．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：验证q=1是否满足题意，q≠1时，代入求和公式可得关于q的方程，解方程可得．解答：解：若q=1，必有S3：S2=3a1：2a1=3：2，满足题意；故q≠1，由等比数列的求和公式可得S3：S2=：=3：2，化简可得2q2﹣q﹣1=0，解得q=﹣，综上，q=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．9．（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为8，的取值范围．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x+y，由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+y=1+2=3．此时2x+y的最大值为23=8．设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最小为k==﹣3，OD的斜率最大为k==，故﹣3，故答案为：8，．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：根据坐标纸折叠后（0，2）与（4，0）重合得到两点关于折痕对称，利用中点坐标公式求出（0，2）和（4，0）的中点，再求出两点确定的直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率的关系求出中垂线的斜率，根据求出的中点坐标和斜率写出折痕的直线方程，根据（7，3）和（m，n）也关于该直线对称，利用中点坐标公式求出中点代入直线方程及求出（7，3）和（m，n）确定的直线斜率，利用两直线垂直时斜率的关系列出关于m与n的两个方程，联立求出m与n的值，即可得到m+n的值．解答：解：点（0，2）与点（4，0）关于折痕对称，两点的中点坐标为（，）=（2，1），两点确定直线的斜率为=﹣则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线的方程为：y﹣1=2（x﹣2）由点（0，2）与点（4，0）关于y﹣1=2（x﹣2）对称，得到点（7，3）与点（m，n）也关于y﹣1=2（x﹣2）对称，则，得所以m+n=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两直线垂直时斜率的关系化简求值，会求线段垂直平分线的直线方程，是一道中档题．11．（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知条件BEF∽△BAC，从而，同理，得，进而推导出△AEH∽△ABD，得=，同理得，由此能求出结果．解答：解：∵AC∥平面EFGH，AC、EF在平面ABC内，∴AC∥EF，∴△BEF∽△BAC，∴，同理，得，又∵EF=HG，∴，∴EH∥BD，∴△AEH∽△ABD，∴=，①，同理得，②又∵EH=EF，∴①÷②得：=，∴=．故答案为：．点评：本题考查两条线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用．12．（5分）若关于x的不等式ax2﹣|x|+2a＜0的解集为∅，