四点共圆(一)

第二十四讲四点共圆（一）【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若AB、CD两线段相交于P点，且PDPCPBPA，则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段延长后相交于P点，且PDPCPBPA，则A、B、C、D四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）A、4组B、5组C、6组D、7组EFHDABC例2、如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EDEC。（1）证明：ABCD//；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EGEF，证明：A、B、G、F四点共圆.ECABDFG例3、如图，在梯形ABCD中，BCAD//，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：GEDGGFAG．GFEADCB例4、已知点)02(，A，)53(，B，直线l过点B与y轴交于点)0(c，C，若O、A、B、C四点共圆，则c的值为（）A、522B、528C、17D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形ABC的底边BC上任取二点D、E，延长AD、AE分别交圆于F、G，求证：AGAEAFAD.EDABCFG例6、如图，D，E分别是AB，AC边上的点，且不与顶点重合，已知mAE，nAC，AD，AB为方程0142mnxx的两根.（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若90A，4m，6n，求C，B，D，E四点所在圆的半径．CABED例7、如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F．（1）证明：A、E、F、M四点共圆；（2）证明：22ABBMBFAC．FDCAOBEM例8、如图，在平行四边形ABCD中，BAD为钝角，且BCAE，CDAF．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：NDBM．NMFECADB例9、如图所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆.OIABC例10、A、B、C三点共线，O点在直线外，1O，2O，3O分别为OAB，OBC，OCA的外心．求证：O，1O，2O，3O四点共圆.O3O2O1ACOB例11、如图，在ABC中，AD，BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，3DE，则ODE的内切圆半径为多少？ABCEDO例12、如图，点F是ABC外接圆弧BC的中点，点D、E在边AC上，使得ABAD，ECBE。证明：B、E、D、F四点共圆.FEDCAB例13、如图，ACAH，BCEB，AKAE，BMBH．（1）求证：E、H、M、K四点共圆；（2）若EHKE，3CE求线段KM的长．KMEHCAB例14、在ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得BEDE，CEFE，又点O是ADF的外心．（1）证明：D，E，F，O四点共圆；（2）证明：O在DEF的平分线上．ODFACBE例15、如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且AFDCAEBC，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是ABC外接圆的直径；（2）若EABEDB，求过B、E、F、C的圆的面积与ABC外接圆面积的比值．FDCABE例16、如图，锐角ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．（1）求证：A，D，F，E四点共圆；（2）若50C，求DEF的度数．FEDABC例17、如图，在正ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且BCBD31，CACE31，AD，BE相交于点P，求证：（1）P，D，C，E四点共圆；（2）CPAP．PEDCAB【强化训练】1、如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）2CECEACDEBE；（2）E，F，C，B四点共圆．FEABDC2、如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．（1）证明A，P，O，M四点共圆；（2）求APMOAM的大小．MBPOAC3、如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E．DCAD，D为垂足．（1）求证：A、D、F、B四点共圆；（2）求证：FBEF．DFCAOBE4、如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，60B，F在AC上，且AFAE．（1）证明：B，D，H，E四点共圆；（2）证明：CE平分DEF．FDEHBAC5、如图，已知BA是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，割线BD、BF分别交⊙O于C、E，连接AE、CE．求证：BDBCBFBE．CEBOADF6、如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作CEEF，交CB的延长线于点F．（1）求证：B、P、E、F四点共圆；（2）若2CD，22CB，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径．DAFBECOP7、如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，ABPD于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．（1）求证：B，C，E，D四点共圆；（2）当12AB，32tanEAF时，求圆O的半径．FDEBAOPC8、如图，ABC是直角三角形，90ABC．以AB为直径的圆O交AC于点E点D是BC边的中点，连OD交圆O于点M（1）求证：O，B，D，E四点共圆；（2）求证：ABDMACDMDE22.MDEOABC9、如图所示，在RtABC中，90ACB，点O为三角形外的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与边AB相切，切点为E，圆O与边BC相交于D点，直径EF与边BC交于G点，连接AG．求证：EDAG//．GDFOBCAE10、如图，在AGF中，AGF是直角，B是线段AG上一点，以AB为直径的半圆交AF于D，连接DG交半圆于点C，延长AC交FG于E．（1）求证D、C、E、F四点共圆；（2）若23GBGE，求GFGA2的值．ECBDAGF11、如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：（1）C，D，F，E四点共圆；（2）GFGEGH2．FHECBOAGD12、如图，已知PA与⊙O相切于点A，PBC为⊙O的割线，弦APCD//，AD与BC相交于点E，F为CE上一点，且ECEFDE2。（1）求证：A、P、D、F四点共圆。（2）若6AE，4EBDE，求PA的长．BEDAOPCF13、如图，由⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，过P引割线PCD交⊙O于C、D。OP与AB交于E。求证：180CDOCEO.ECBAOPD14、如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，H是垂心，求证：2BCCFCHBEBH.EFHDABC