直角三角形内切圆

直角三角形内切圆半径公式及应用设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有证明如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．易得IDCE是正方形．∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便．例1在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：a2＋b2=c2(勾股定理)．证明如图1，连结IA、IB、IC，则把(*)式代入上式，即得化简即得a2+b2=c2．例2设Rt△ABC斜边上的高CD=h，△ABC、△ACD、△CBD内切圆的半径分别为r1、r2、r3．求证：r1+r2+r3=h．证明如图2，在Rt△ABC，Rt△ACD和Rt△CBD中，由(*)式可得三式相加，即得r1+r2+r3=CD=h．例3如图1，圆I是Rt△ABC的内切圆，切两直角边于D、E，切斜边AB于F．求证：S△ABC=AF·BF．即S△ABC=AF·BF．例4如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是三角形的三条边(c为斜边)．求证：证明作Rt△ABC的内切圆I，切三边于D、E、F．连结IA、IB、IF．则又由例3知AF·BF=S△ABC由以上几例可以看出，已知条件中有内切圆的，可以利用内切圆半径公式作媒介，证得结论，如例2，例3；已知条件中没有内切圆的，也可以作出内切圆，并利用内切圆半径公式解决问题，如例1，例4．这说明直角三角形内切圆半径公式有着广泛的应用