讲义弧、弦、圆心角例题及答案--基础知识

初三数学讲义第1页共9页内容提要1.圆的旋转不变性圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。圆所特有的性质——圆的旋转不变性圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。2.圆心角，弦心距的概念.顶点在圆心的角叫做圆心角。弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.圆心到弦的距离叫做弦心距。3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。同样还有：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。4.1°的弧的概念.(投影出示图7－59)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。【典型例题】例1.判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以=.初三数学讲义第2页共9页（2）在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=。分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明。例2.已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。证：∵AD=BCBCADBCACADACACACDCABABDC变式练习。已知：如图所示，=，求证：AB=CD。证：∵ACACBCADACBCACDAABDCCDAB例3.在圆O中，60ACBACAB求证：∠AOB=∠BOC=∠AOCABCO证：ACABAOCBOCAOBBCACABACBACAB60初三数学讲义第3页共9页例4.D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则CA与CB的关系是？DAO12CBE证：连CO∵DC⊥AD，CE⊥OBCD=EC∠1=∠2BCAC例5.已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证：BDAC。AMOBCDN法一：连结OC、OD，则OC=OD∵OA=OB，且OA21OMONOMOB21ON，在Rt△CMO与Rt△DNO中ODOCONOMBODAOCDONCOMBDACAMOBCDN法二：连AC、DB、CO、DOOBDNMCOM，且AM=MO，ON=NB∴AC=OC，OD=DB初三数学讲义第4页共9页DBACDBACODOC，，法三：由法二∴AC=CO=AOOD=OB=DB∴∠AOC=∠BOD=60°DBAC例6.CD为圆O直径，以D为圆心，DO为半径画弧，交圆O于A、B。证：△ABC为等边三角形ABD1O2C证：连AC、BC、AO、BO、AD、BD∵AO=OD=AD∴∠1=60°同理∠2=60°∴∠AOB=120°∵CD为直径∴∠AOC=∠COB=120°∴∠AOC=∠COB=∠AOB∴AB=AC=BC∴△ABC为等边三角形例7.AB、CD为圆O两直径，弦CE//AB，40CE，求∠BOD。BCODAE解：40CE，∴∠COE=40°∵OC=OE∴∠C=∠E=24018070°∵CE//AB∴∠BOC=∠C=70°∵∠BOD+∠BOC=180°∴∠BOD=180°－70°=110°初三数学讲义第5页共9页例8.证明：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等。已知：在圆O中，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD求证：OE=OFOABCDFE证：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OF、OE过圆心AB21BEDC21FC，BEFCCDAB，∵OC=OB)HL(OBERtFCORt∴OE=OF例9.点O在∠EPF的平分线上，圆O与∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D，求证AB=CD。ABCDFNMEOP法一：作OM⊥PE，ON⊥PF连接OC、OA∵OP为∠EPF的平分线OM⊥PE，ON⊥PF∴OM=ON∵OA=OCCNAMNCORtMAORt∵OM、ON过圆心OM⊥AB，ON⊥CD∴AB=2AMCD=2CN∴AB=CD法二：由法一，OM=ON∴AB=CD例10.圆O中弦AB、CD相交于E，且AB=CD求证：DE=BE初三数学讲义第6页共9页DOABCE1234法一：连结AD、BC、AC∵AB=CD，CDABACCDACAB即BCADBCAD，在△ACD和△CAB中ABDCBCADACACBDCABACD在△AED和△CEB中BCAD21BDBEDECEBAED法二：连DB、AD、BC证CBDADB∴∠3=∠4∴ED=BE例11.在圆O中，AC=DB，求证：BFAEAEFBCDO证：连接OA、OB∵OA=OB，∴∠A=∠B)SAS(OBDAOC∴∠AOC=∠BODBFAE例12.圆O的直径AB=10cm，CD长是圆O的六分之一，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F。（1）求证：EC=FD（2）求AE+BF初三数学讲义第7页共9页OECDFMBA证：（1）作OM⊥EF∵AE⊥CD，BF⊥CD∴AE//BF∵O为AB中点，∴EM=MF∵OM⊥CD∴CM=MD，∴EC=DF（2）AE+BF=2OM∵CD长是圆O的六分之一∴∠COD=60°∵OC=5325OM35BFAE【习题作业】（答题时间：40分钟）1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、或中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。2.在⊙O中的两条弦AB和CD，ABCD，AB和CD的弦心距分别为OM和ON，则OM__________ON。3.已知：如图，AB=AC，D为弧AB的中点，G为弧AC中点，求证：DE=FG。4.AB、CD是⊙O内两条弦，且AB=CD，AB交CD于P点，求证：PC=PB。ABCPOD5.若两弦相等，则它们所对的弧相等。（）6.若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为60°。（）7.若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大。（）8.若两条弧的度数相等，那么这两条弧是等弧。（）9.在⊙O中，直径AB为6cm,弦BC为4cm，则弦BC的弦心距为_____cm。10.在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距为cm34，求圆心角∠AOB。初三数学讲义第8页共9页11.已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。求证：∠AEF=∠CFE。12.已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。求证：PA=PC。13.如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则弧EF的度数为，弧BF的度数为，∠EOF=°，∠EFO=°。14.AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC=°，∠COD=°，∠DOB=°。15.已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。16.已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。求证：∠OBA=∠OCD。17.已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。初三数学讲义第9页共9页【试题答案】1.两条弦，两条弦心距2.3.证明：∵D为弧AB中点，OD是⊙O半径∴OD⊥AB于E同理，OG⊥AC于F又AB=AC∴OE=OF∴OD－OE=OG－OF即DE=FG。4.证明：过O点作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连结OP，(如图)∴AB=CD∴OE=OF∵OP公用∴△POE≌△POF∴PE=PF∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB=CD∴CE=BF∴CE-PE=BF-PF即PC=PB。5.×6.√7.×8.×9.510.60°11.连结OE、OF。∵E、F为AB、CD中点，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∵AB=CD，∴OE=OF，∴∠EFO=∠FEO，∴∠AEF=∠CFE。12.作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。∵∠APF=∠CPF，∴OM=ON，∴AB=DC。又∵ABAM21，CDCN21，∴AM=CN，证△POM≌△PON，∴PM=PN，∴AP=CP13.80°，50°，80，5014.54，36，9015.60°，12cm16.作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N。由PO平分∠EPF，得OM=ON,又BO=CO，得Rt△BOM≌Rt△CON，∴∠OBA=∠OCD。17.通过角度的计算及弧等弦等，可以证得AE=AC=CD=DB=BF。