1.2应用举例(公开课)

2020年3月13日星期五的应用解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦……正弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形的外接圆半径）CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222ABCacb解三角形理论在实际问题中的应用实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角600.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离αABC:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在;)1(测量距离.)3(测量角度包含不可达到的点(2)测量高度.问题一：测量距离问题（1）：有一点可到达解三角形的应用----实地测量举例想一想：例1：如何测定河两岸两点A、B间的距离？AB解三角形的应用----实地测量举例想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？ABαβC在B的同一侧选定一点C解三角形的应用----实地测量举例想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？ABαβCABαβC55简解:由正弦定理可得AB/sinα=BC/sinA55若BC=55,∠α=510,α∠β=750,求AB的长.问题一：测量距离问题（2）：两点都不可到达解三角形的应用---实地测量举例例2、如何测定河对岸两点A、B间的距离？ABD如图在河这边取一点D，构造三角形ABD，能否求出AB?为什么？？解三角形的应用----实地测量举例例2、为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定a公里长的基线CD，并测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，求A、B两点的距离.ABDCABDC分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。∠BCA=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，0sin(sin(sin[180()]sin()aaADCAC））在中，0sinsinsin[180()]sin()aaBDCC在中，B222cos.ABCACBCACBC在中，AB=αβγδ练习1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABBSnmileSABhhBSnmilehnmileQ解：在中，＝，，由正弦定理得设点到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．620（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？BAC0600260D.,0266,40.1,95.10求第三边的长夹角的两边已知AACABABC抽象数学模型m95.1m40.1CAB练习2:已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得751.30266cos40.195.1240.195.1cos222222AACABACABBC)(89.1mBC答：顶杆BC约长1.89m。B(B0)CA(A0)图1CBAB0A0图2c练习3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处。设连杆AB长为cm,曲柄CB长为60cm,曲柄自按顺时针方向旋转60º，求活塞移动的距离。603CBCBo0A解：2136060sin60sinsin0ABCBCAABC中由正弦定理可得在009030BAAABBC为锐角cmBCAC12030sin0ACCAAA00。）（答：活塞移动的距离为cm60360A0AB0BC60º36060)(60360)(cmACBCAB练习3总结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明问题二：测量高度问题（1）：底部不可以到达3,..ABBAAB例、是底部不可到达的一个建筑物为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,,,HGHGB解：选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,,,HGCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是，，测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a在中，=AB=AE+h=ACsin+hsinsin=.sin()ah问题二：测量高度问题（2）：底部可以到达).1(,3.27'.150,'4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例00C,90,.ABCBAD解：在AB中，BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦定理，AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsinBADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代人，CD（150.答：山的高度约为米000,,7567.5,,3254.0.,,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图一艘海轮从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从出发沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从出发到达此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离角度精确到距离精确到问题三：测量角度问题例5:我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角)为,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间。0450105北北BCA045010510X21X9解：。则小时，处靠近渔船所用的时间设舰艇从10,9,21ACxBCxABxA0000120)105180(45ACB010936120cos9102)9(1021120cos2202220222xxxxxBCACBCACAB即）则（由余弦定理可得)(125,3221舍去解得xx10142610142cos69,1421222222ACABBCACABBACxBCxAB再由余弦定理可得9286.0078.21BAC00078.6678.2145小时。近渔船需要的方位角方向航行，靠答：舰艇应以3278.660练习：解：如图，在△ABC中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222BACACABABACBCA1我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB405010∴我舰的追击速度为14nmile/h28BC　　又在△ABC中由正弦定理得：sinsinACBCBA1435arcsinB故我舰行的方向为北偏东.1435arcsin50）－（sin53sin14ACABBC故练习2：如下图，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的动点。以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC的面积的最大值。CPDOAB解：。，四边形的面积为设yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中，由余弦定理得则在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy时，即当:三角形面积公式CabSsin21Bacsin21Abcsin212,,(0.1).ABCScm例7、在中根据下列条件求三角形的面积精确到;5.148,5.23,8.14)1(0Bcmccma已知;16.3,8.65,7.62)2(00cmbCB已知.7.38,3.27,4.41)3(cmccmbcma已知,:ABC例9、在中求证222(2)2(coscoscos).abcbcAcaBabC.,:系或者全部转化为角的关化为边的关系全部转系恒等式证明三角形中的边角关222222sinsin(1);sinabABcC1、解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）3.求模（正确运用正、余弦定理求解）4，还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：