[试卷]希望杯高一全国数学邀请赛试题集锦(第9-16届)

1第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试一、选择题1、如图是函数cbxaxxf2)(的图象，那么--（）（A）0,0,0cba（B）0,0,0cba（C）0,0,0cba（D）0,0,0cba2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（）（A）411天（B）5天（C）16天（D）12天3、函数)1,0(log)(aaxxfa，若1)()(21xfxf，则)()(2221xfxf的值等于（）（A）2（B）21（C）1（D）2loga4、平面外一直线和这个平面所成的角为，则的范围是-------------------------（）（A）0180（B）090（C）090（D）0905、P、Q、R、S分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为（）（A）RQPS（B）RQSP（C）SP=QR（D）SR,PQ,RQ,QR6、70log21tga，25sinlog21b，25cos)21(c，则------------------------（）（A）cba（B）acb（C）bca（D）abc7、)(xf是定义域为R的奇函数，方程0)(xf的解集为M，且M中有有限个元素，则（）（A）M可能是（B）M中元素的个数是偶数（C）M中元素的个数是奇数（D）M中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。8、（1）（2）（3）（4）+※□╳++□◇⊙╳⊙⊙╳※╳□◇◇□◇+※※⊙以上都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中有两个完全一样的是-（）（A）（1）与（2）（B）（1）与（3）（C）（2）与（4）（D）（3）与（4）9、已知是第二象限的角，且2cos2sin，则||2cos|log|22等于-------------（）（A）)2cos(（B）2cos（C）)2sec(（D）)2sec(10、若函数||22xxy的图象C与直线)2(xky相交于点（1，1），则C与该直线交点的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题（A组）xyO211、若23logx，则x的值是。12、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有个交点。13、直线l与平面所成角为50，交点为P，a是内不过P点的任意一条直线，那么l与a所成角的取值范围是。14、函数)1lg(2xy的单调递增区间为。15、方程21254log24xxx的解为。16、函数)(xf与xxg3)(的图象关于直线xy对称，则函数)2(2xxf的定义域为。17、一个长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为。18、平面平面，直线a∥，a与成45角，直线b∥，b与成45角，则直线a与b所成的角的大小为。19、若xyx22322，则22yx的最大值为。20、二面角l的大小为60，lCBA,,，且ABAC,4，B点到的距离为1，则直线AC与平面所成的角的大小等于。三、填空题（B组）21、若},4,2,1{},2,1{}1,{2aaa，则a的值是。22、关于x的方程)1,0(loglogaaaxxa的解为。23、如果51cossin，那么所在的象限是。24、函数)2sin(2)(xaxf的值域为[2，1]，在区间]12,125[上是单调递减函数，则常数a与的值分别为。25、函数123)(2aaxxxf在区间[0，1]上的最小值为0，则a的值为。1998年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试一、选择题1、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1垂直的面对角线的条数是-------------------------------------（）（A）0（B）3（C）6（D）92、若函数axxf2)(的反函数为5)(1bxxf，则-------------------------（）（A）7ba（B）72ba（C）3ba（D）12ba3、若02log2logyx，则------------------------------------------------------------（）（A）10xy（B）10yx（C）1xy（D）1yx4、如图所示是一个544的长方体，上面有214，215，314的穿透的洞，剩下部分的体积为（）（A）50（B）54（C）56（D）585、设函数)(xfy是周期为2的偶函数，且在区间[0，1]内单调递减，则)5.2(),0(),1(fff的大小关系是（）3（A）)0()5.2()1(fff（B）)5.2()0()1(fff（C）)1()5.2()0(fff（D）)1()0()5.2(fff6、P是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，则在以下结论中正确的是-（）（A）BPCBAC（B）BPCBAC（C）BPC=BAC（D）BPC与BAC的大小关系不确定7、在锐角三角形ABC中，一定有（）（A）cosAsinB（B）cosAsinB（C）tgAsinB（D）cosA与sinB的大小关系不确定8、在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1的侧棱CC1上有一点P，若截面PAE1与侧面AEE1A1互相垂直，则这样的P点（）（A）一般有两个，特殊情况下仅有一个。（B）有且仅有一个（C）有两个（D）有时不存在9、在区间[2，3]上，方程xx2332loglogloglog的实根个数是-----------------（）（A）0（B）1（C）2（D）无数个10、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为--------------------（）（A）3（B）6（C）10（D）无数个二、填空题11、关于x的方程)121(log)121(log2xxa，)1,0(aa的解集为。12、空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD=3，则BD与AC所成的角的正弦值为。13、函数)2(2)20()(2xxxxfx的反函数为。14、函数1sinsinxxy的值域为。15、若2log3)(3xxfx，则)30(1f。16、若)1(log)(axxfa在区间[2，3）上是减函数，则实数a的取值范围是。17、函数)(xfy对于任意实数yx,都满足22)]([2)()(yfxfyxf，且0)1(f，则)1998(f。18、关于x的方程012kxkx有两个实根，一个比2大，另一个比1小，则k的取值范围是。19、在长方体ABCE-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，P是对角线AC1上的一个动点，Q是底面ABCD上的一个动点，则B1P+PQ的最小值为。20、三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=90，D为底面ABC内的一点，APD=45，BPD=60，则CPD的余弦值为。三、解答题21、已知0,,cba且1,,cba，abcacb,，试比较cba,,的大小，并说明理由。22、ABC是边长为1的正三角形，PA平面ABC，且PA=46，A点关于平面PBC的对称点为A’，求直线A’C与AB所成角的余弦值。4答案：第一试：ACADACCDDD3，1，[50，90]，2，),2()0,(，26：29，60，94，30，2或0，a或a1，二、四，第十届“希望杯”全国数学邀请赛（第一试）一、选择题1.已知f(x－1)＝x＋1，则f(2x＋1)等于-----------------------（）（A）2x（B）2x＋1（C）2x＋2（D）2x＋32.若}2log|{2xxxx，则有-------------------------------（）（A）12xx（B）xx12（C）xx21（D）21xx3.已知222)(xxxf，f(a)＝0，则f(－a)等于-------------（）（A）－a－4（B）―2（C）―4（D）－2a4.线段OA、OB、OC不共面，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60º，OA＝1，OB＝2，OC＝3，则ΔABC是-------------------------------------------------（）（A）等边三角形（B）不等边的等腰三角形（C）直角三角形（D）钝角三角形5.已知函数f(x)＝23x)x3lg(23xxlg，若方程f(x)＝k无实数解，则k的取值范围是----------------------------——-------------------------（）（A）(－∞,0)（B）(－∞,1)（C）(－∞,lg23)（D）(lg23,＋∞)6.若0＜2α＜90°＜β＜180°，a＝(sinα)cosβ,b＝(cosα)sinβ，c＝(cosα)cosβ，则a,b,c的大小顺序是---------------------------------------（）（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）b＞a＞c（D）c＞a＞b7.函数)2(log)(2xxxfx的定义域是-------------------------（）（A）－1＜x＜2（B）0＜x＜2（C）0＜x＜1或1＜x＜2（D）x＞0且x≠18.函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)＞|x|成立，则在α∈{－2,－1,－32,31,0,32,1,2}的条件下，α可以取的值的个数是-----------（）（A）1（B）2（C）3（D）49.在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝2b，a＜b，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当∠CEB＝90º时，二面角C－EF－B的平面角的余弦值等于------------------------------------------------------（）5（A）0（B）22ba（C）22ba（D）ba10.a,b,l是两两异面的直线，a与b所成的角是3，l与a、l与b所成的角都是α，则α的取值范围是------------------------------------------（）（A）65,6（B）2,3（C）65,3（D）2,6二、填空题11、函数y＝f(x－a)与函数y＝f(－x＋a)的图象关于对称。12、将函数f(x)＝sin2x的图象向左移3个单位，再将所得图象上各点的横坐标压缩到原来的21，这时所得图象的函数解析式是。13、与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是。14、空间四边形ABCD中，AB=AD=3，BC=CD=2，AC=5，则AC与平面BCD所成的角等于。15、长、宽、高分别为3cm、4cm、12cm的长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，BC=4cm，CC1=12cm，若一只小虫要由A点沿木块表面爬到C1点，最短路径的长度是。16、已知x,y＞10，xy＝1000，则lgxlgy的取值范围是。17、对于函数f(x)＝logax（其中a＞0,a≠1），若f(3)－f(2)＝1，则f(3.75)＋f(0.9)的值等于。18、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，则B1点到平