《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 数学归纳法(二)

研一研·问题探究、课堂更高效§2.3（二）本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效【学习要求】1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.【学法指导】通过对数学归纳法的学习，培养自己勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养思维的严密性.通过相互交流和讨论，增强团队合作意识，提高语言交流能力.§2.3（二）本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效1.某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么下列说法正确的是________.①n＝6时该命题不成立②n＝6时该命题成立③n＝4时该命题不成立④n＝4时该命题成立§2.3（二）解析∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立.∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立.③本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成________.§2.3（二）答案假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确3.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________.解析n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立.答案n＝3时是否成立本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是__________________.§2.3（二）解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3).所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).(2k＋2)＋(2k＋3)本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效题型一用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式的关键是什么？§2.3（二）答案用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效例1已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1都成立.§2.3（二）证明由bn＝2n，得bn＋1bn＝2n＋12n，所以b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1成立.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效①当n＝1时，左边＝32，右边＝2，因为322，所以不等式成立.§2.3（二）②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时不等式成立，即b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk＝32·54·76·…·2k＋12kk＋1成立.则当n＝k＋1时，左边＝b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk·bk＋1＋1bk＋1＝32·54·76·…·2k＋12k·2k＋32k＋2k＋1·2k＋32k＋2＝2k＋324k＋1＝4k2＋12k＋94k＋1本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效4k2＋12k＋84k＋1＝4k2＋3k＋24k＋1§2.3（二）＝4k＋1k＋24k＋1＝k＋2＝k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，不等式也成立.由①、②可得不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1对任意的n∈N*都成立.小结用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标.在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n21－1n(n≥2，n∈N*).§2.3（二）证明①当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为1412，所以不等式成立.②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k21－1k，则当n＝k＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1k＋121－1k＋1k＋12本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效＝1－k＋12－kkk＋12＝1－k2＋k＋1kk＋121－kk＋1kk＋12＝1－1k＋1，§2.3（二）所以当n＝k＋1时，不等式也成立.由①②可知对任意n≥2的正整数，不等式都成立.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效题型二利用数学归纳法证明整除问题例2求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.§2.3（二）证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效故n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.§2.3（二）小结证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除.§2.3（二）证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除.那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2).本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除.§2.3（二）由(1)，(2)可知原命题成立.∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效题型三利用数学归纳法证明几何问题问题用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？§2.3（二）答案用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效例3平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝nn－12.§2.3（二）证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立.(2)假设n＝k(k2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，§2.3（二）从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.小结用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分.§2.3（二）证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域.∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立.本课时栏目开关填一填研一研研一研·问题探究、课堂更高效1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等.2.证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3.从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.§2.3（二）本课时栏目开关填一填研一研