分式方程的应用

分式方程的应用第一环节：章节内容基础术语公式及配套基础练习1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（方程的概念就是含有未知数的等式）2.解分式方程的步骤（1）解分式方程的基本思想是将分式方程化成整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘以最简公分母。（2）解分式方程的步骤：1、找最简公分母：当分母是多项式时，先分解因式，找出最简公分母。2、去分母：方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程。3、解整式方程4、检验：把求得的未知数的值代入最简公分母，看最简公分母的值是否为零，若最简公分母的值不为零，则是原方程的根，否则就是增根，必须舍去！3、列分式方程解应用题的一般步骤（1）、审题（2）、设未知数（3）、列方程（4）、解方程（5）、检验（6）、写出答案第二环节：章节内容题目精讲一、课前回顾1．已知关于x的分式方程211122mxxxxx（1）若方程的增根为x=1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．【答案】（1）m=-6;(2)当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5【解析】（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而得x的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m+1）x=﹣5，（1）∵x=1是分式方程的增根，∴1+m=﹣5，解得：m=﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）=0，解得：x=﹣2或x=1，当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．二、分式方程的应用类型（一）营销类问题1．某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同，求这种笔的单价.【答案】这种笔的单价是10元．【解析】试题分析：首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程304x=50x，再解方程可得答案．试题解析：解：设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：304x=50x解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x﹣4=6．答：这种笔单价为10元．2.扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天销售的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解答过程．【答案】问题：求原计划每天销售多少盒？原计划每天销售80盒．【解析】分析】首先根据题意提出一个问题，然后根据题干条件列出分式方程，解方程即可．试题解析：解：本题答案不唯一，下列解法供参考．问题：求原计划每天销售多少盒？（其它问题和解法参照本例给分）解：设原计划每天销售x盒，由题意得：解得：x=80，经检验x=80是原分式方程的解．答：原计划每天销售80盒．3．服装店10月份以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．（1）求每件羽绒服的标价是多少元；（2）进入12月份，该服装店决定把剩余的羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于12700元，问这批羽绒服至少购进多少件？详解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，根据题意得：，解得：x=700，经检验x=700是原方程的解．答：每件羽绒服的标价为700元．（2）设这批羽绒服购进a件，10月份售出14000÷700=20（件），11月份售出20×1.5=30（件），根据题意得：14000+（5500+14000）+700×0.8（a﹣20﹣30）﹣500a≥12700，解得：a≥120，所以a至少是120，答：这批羽绒服至少购进120件．4．人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？【答案】(1)45元(2)甲种牛奶64件，乙种牛奶23件（二）工程性问题1．某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23：若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元.【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天．根据题意，得20116012233xxx，解得：x=180．经检验，x=180是原方程的根，∴23x=23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有111120180y，解得y=72．需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．2．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同．A型机器每小时加工零件的个数_____．【答案】80【解析】分析：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工（x-20）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．详解：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工（x-20）个零件，根据题意得：，解得：x=80，经检验，x=80是原分式方程的根，且符合题意．答：A型机器每小时加工80个零件．3．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x天，依题意得：1133144xxxx解得：x=12．经检验，x=12符合原方程和题意，∴x+4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B方案不能按时完成，∴要舍弃．A方案的工程款为12×1=12（万元），C方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元），∴应选C方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．4．某厂为支援灾区人民，要在规定时间内加工1500顶帐篷．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少顶帐篷？试题解析：设该厂原来每天加工x顶帐篷，由题意可得：，解得，经检验，是所列方程的解，答：原来每天加工100顶帐篷.（三）行程问题1．A，B两地间仅有一长为180千米的平直公路，若甲，乙两车分别从A，B两地同时出发匀速前往B，A两地，乙车速度是甲车速度的43倍，乙车比甲车早到45分钟．（1）求甲车速度；（2）乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地，甲车到达B地后立即提速匀速返回A地，若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米，求甲车至少提速多少千米/时？【解析】（1）根据路程=速度×时间，可由乙车比甲车早到45分钟的关系列出方程；（2）根据题意可表示出乙返回到B的时间为1801242603，甲提速前的时间是18060，甲提速后的时间为（1801242603-18060），从而根据“若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米”，列不等式求解即可.试题解析：（1）设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是34x千米/时，依题意得：x180=x34180+6045，解得：x=60．经检验：x=60是原方程的解．答：设甲车速度为60千米/时；（2）设甲车提速y千米/时，依题意得：180﹣（6034180×2+60180-21）（60+y）≤30，解得：y≥15．所以甲车至少提速15千米/时．2.为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米／小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多14小时，求自行车的平均速度？【答案】自行车的平均速度是15千米／时．【解析】试题分析：根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多14小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．试题解析：解：设自行车的平均速度是x千米/时．根据题意，列方程得：7.5x﹣7.515x=14解得：x1=15，x2=﹣30．经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．3．2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．【答案】特快列车的平均速度是52km/h．高铁的平均速度是156km/h．【解析】试题分析：设特快列车的平均速度是xkm/h，则高铁列车平均速度为3xkm/h，根据高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6小时，列方程求解．试题解析：解：设特快列车的平均速度是xkm/h，由题意得：解得：x=52．经检验：x=52是原方程的解，且符合实际意义．3x=156．答：特快列车的平均速度是52km/h，高铁的平均速度是156km/h．4．某校学生利用双休时间去距学校10km的天平山社会实践活动，一部分学生骑电瓶车先走，过了20min后，其余学生乘公交车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知公交车的速度是电瓶车学生速度的2倍，求骑电瓶车学生的速度和公交车的速度？【