§2.3.1圆的标准方程

§2.3.1圆的标准方程一．圆的标准方程平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。求以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程.设M(x，y)是⊙C上任意一点，点C在⊙C上的条件是|CM|=r.也就是说，如果点M在⊙C上，则|CM|=r,反之如果|CM|=r，则点M在圆C上。由两点间的距离公式，所说的条件转化为方程表示22()()xaybr两边平方得(x－a)2+(y－b)2=r2.注意以下三点：1．已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3．圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.二．点与圆的位置关系给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：（1）若点M1在圆C上，则有(x1－a)2+(y1－b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1－a)2+(y1－b)2r2；（3）若点M1在圆C内，则有(x1－a)2+(y1－b)2r2.三．确定圆的方程的方法和步骤1．圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。2．求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.例1．根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C(－2，1)，并过点A(2，－2)；（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0相切；（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.5解：（1）所求圆的半径r=|CA|=5，因为圆心在点C(－2，1)，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y－1)2=25.（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0相切；解：（2）因为直线3x－4y－6=0是所求圆的切线，所以圆心到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，得22|31436|334r所以所求圆的方程是(x－1)2+(y－3)2=9.（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为.5解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=5.已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得2222(1)5(2)(1)5abab解得1111ab或2213ab因此所求圆的方程为(x－1)2+(y+1)2=5或(x－1)2+(y－3)2=5。例2．求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y+8=0上的圆的方程。解法1.直线AB的斜率k=－1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1，AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=，y=.2752因此直线m的方程为y－=x－，即x－y－1=0.7252又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直线m的交点，解联立方程组102780xyxy得32xy所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=|CA|=，13所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.解法2.设所求的圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2，由题意得222222(6)(0)(1)(5)2780abrabrab解得22313abr所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.例3．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。解：如图，以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。CyxOBA根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51，0)，(0，7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x2+(y－b)2=r2，因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满足这个方程，于是得到方程组2222218.51(7.2)brbr解得220.19750.21br因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.赵州桥坐落在河北省赵县洨河上。建于隋代（公元581－618年）大业年间（公元605－618年），由著名匠师李春设计和建造，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥。1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位。因赵州桥是重点文物，通车易造成损坏，所以不能通车。例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，将M，N点的坐标代入方程得(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)210,所以点M在圆上，点N在圆内.练习题：1．圆(x－1)2+(y+1)2=2的周长是（）（A）π（B）2π（C）2π（D）4π22C2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（）（A）x2+y2=25（B）x2+y2=5（C）(x－3)2+(y－4)2=25，（D）(x+3)2+(y+4)2=25，C3．已知圆心在P(－2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（）（A）(x－2)2+(y+3)2=4（B）(x+2)2+(y－3)2=4（C）(x－2)2+(y+3)2=9（D）(x+2)2+(y－3)2=9B4．过点A(1，－1)，B(5，6)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（）（A）(x－3)2+(y+1)2=4（B）(x+3)2+(y－1)2=4（C）(x－1)2+(y－1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=4C5．以(A(－1，2)，B(5，6)为直径端点的圆的方程是。(x－2)2+(y－4)2=136．圆心在3x－y=0上与x轴相切并且被直线y=x截得的弦长为2的圆的方程是。7(x－1)2+(y－3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9