§2.4-2.5定态薛定谔方程 一维无限深势阱

（五）粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（二）再论波函数的性质（一）定域几率守恒•考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr0),(dtrdtd在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在t时刻r点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证：–考虑Schrodinger方程及其共轭式：)5(]2[22Vti)6(]2[22Vti式得：将)6()5(][2222titi][22）（ti取共轭dddtdiVV][22）（在空间闭区域v中将上式积分，则有：闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量J是几率流密度，是一矢量。所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令Eq.（7）τ趋于∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq.（7）变为：0),(dtrdtd0Jt其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同diddtdVV][2）（dJdtrdtdVV),(的表面。是体积）（VStrSdJdtrdtdS),(7),(使用Gauss定理单位时间内通过τ的封闭表面S流入（面积分前面的负号）τ内的几率][2iJSdS0),(dtrdtd讨论：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。（1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2）以μ乘连续性方程等号两边，得到：0Jt量子力学的质量守恒定律同理可得量子力学的电荷守恒定律：0eeJt表明电荷总量不随时间改变)(2|),(|2iJJtr质量密度和质量流密度矢量)(2|),(|2ieJeJtreeee电荷密度和电流密度矢量（二）再论波函数的性质•1.由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。（1）波函数完全描述粒子的状态（2）波函数标准条件单值、有限、连续（2）量子力学基本假定I、II量子力学基本假定I波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，由波函数还可以得到体系的各种性质,波函数完全描述粒子的状态.量子力学基本假定II波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程§2.4定态Schrodinger方程（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（一）定态Schrodinger方程),()](2[),(22trrVtrti)()(),(tfrtr)(]2)[()()(22rVtftfdtdri现在让我们讨论有外场情况下的定态Schrodinger方程：E)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdi令：/~)(iEtetfEtiertr)(),(于是：V(r)与t无关时，可以分离变量代入)(]2[)(1)()(122rVrtfdtdtfi)()(tfr两边同除等式两边是相互无关的物理量，故应等于与t,r无关的常数该方程称为定态Schrodinger方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=E/h。由deBroglie关系可知：E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。Etiertr)(),()()(]2[22rErV空间波函数ψ(r)可由方程和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符),()](2[),(22trrVtrti算符。亦称量，称为与经典力学相同，HamiltonHamiltonHˆ)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdiEVEti]2[2二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。HVtiˆ222是相当的。这两个算符都称为能量算符。也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符)(r，得：注意到]/exp[iEt]/exp[iEt再由Schrodinger方程：（2）能量本征值方程（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；EHˆEV]2[2将改写成（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量E称为算符H的本征值；Ψ称为算符H的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（三）求解定态问题的步骤•讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)和在这些态中的能量E。其具体步骤如下：)()(]2[22rErV,,,,,,,2121nnEEE，本征函数本征值：]/exp[)(),(tiErtrnnn1|)(|2drCnn（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn（四）定态的性质•（2）几率密度流与时间无关nnntr),(][2),(nnnnnitrJ（1）粒子在空间几率密度与时间无关)]/exp([)]/exp([tiEtiEnnnn)/exp()/exp(tiEtiEnnnn)()(rrnn)]/exp()/exp()/exp()/exp([2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn)]()()()([2rrrrinnnn)(rJn•综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数：1.Ψ描述的状态其能量有确定的值；2.Ψ满足定态Schrodinger方程；3.|Ψ|2与t无关。一维定态问题l在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：l（1）有助于具体理解已学过的基本原理；l（2）有助于进一步阐明其他基本原理；l（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；l（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。问题的提出:金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围……称为束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为axxaxxU,000)(区区区§2.5一维无限深势阱l求解定态薛定谔方程分四步：l（1）列出各势域的一维薛定谔方程l（2）解方程l（3）使用波函数标准条件定解l（4）定归一化系数§2.5一维无限深势阱axxaxxU,000)(区区区一.求解过程1.势函数0)(xU)0(ax)(xU0(x，)ax2.哈密顿量)(2ˆ222xUdxdH3.定态薛定谔方程令222E得0)()(''2xx•阱内：区区区)()(]02[222xExdxd•阱外：4.分区求通解0)(xxBxAxsincos)(A和B是待定常数)()(]2[222xExdxd•阱外：•阱内：3.定态薛定谔方程令222E得0)()(''2xx•阱内：)()(]02[222xExdxd5.由波函数自然条件和边界条件定特解00)0(A0sin0)(aa，（B0）na,3,2,1,nanxBxsin)(0)(xxBxAxsincos)(A和B是待定常数•阱外：•阱内：6.能量本征值anE,222＝由,3,2,1,22222nnaEn得7.本征函数),3,2,1(sin)(nxanBxn8.归一化aBdxxan21|)(|02得),3,2,1(sin2)(nxanaxn7.本征函数axorxaxxanan,,,sin00021.能量量子化二:一维无限深势阱中粒子的运动特征,3,2,1,22222nnaEn2.粒子有不为零的最小能量：022221aE微观粒子波动性的表现12EnEn3.相邻两能级的能量差：2222)12(anEn(2)当势阱的宽度a小到原子的尺度，E很大，当势阱的宽度a大到宏观的尺度，E很小，能量的量子化显著。能量量子化不显著。En,Ea,02,)1(nEEnnn连续量子4.粒子在阱中不同位置出现的概率不同：说明：1)束缚态:无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态.),3,2,1(sin2)(nxanaxn2)第n个能级,n-1个节点(0、a除外).节点处出现粒子几率为零.n时，量子经典|2Ψn|oan很大虚线是经典结果例:在宽度为a的一维无限深方势阱中运动的电子)(xaxx,00axxanA0sin（4）n=1及n=2时，几率密度最大的位置（5）处在基态的粒子在a/4—3a/4范围内的几率解（1）1)(sin202dxxanAaaA2（2）22212aE（4）几率密度：求（1）系数A（2）基态能量（3）基态德布罗意波长已知：a2)(sin22axna2)(xw（3）12Ehph电子的质量几率密度最大的位置：0dxdw令由倍角公式，上式为：0)2sin(xan0)2sin(xa3,2,,02xaaaax23,,2,0若n=2可求得aaaax,43,2,4,0d