第三章复变函数的积分

1第三章复变函数的积分3.1解计算积分120[()]ixyixdz，路径(1)自原点至1i的直线段；(2)自原点沿实轴至1，由1铅直向上至1i；(3)自原点沿虚轴至i，由i沿水平方向右至1i。解：(1)设参数方程为(1)zit，01t11220011[()](1)(1)333iixyixdzitidtii(2)设参数方程为12:0,:1.CyCx121112200015[()]()(1)26iCCxyixdzxixdxyiidyi(3)设参数方程为12:0;:1lxly12111220001[()]()(1)26illixyixdzyidyxixdx3.21L2ioooyxL11+iC2(2)(1)xyyxC111+i(3)1+i211-iC0计算Czdzz积分的值，其中C为（1）||2z；（2）||4z.解：令izre，202iizrzredzriedrizr故当2r时，为4i;当4r时，为8i.3.3求证：2Cdz4z其中C是从1i到1的直线段。证明：C：z=1+iy=1+itan,0.422222111tancoscoszyddzi，，故有222241coscos4oCCdzdzdzz3.4试用观察法确定下列积分的值，并说明理由，C为|z|=1。解：（1）2144Cdzzz积分值为0，因被积函数在|z|1内解析。（2）1cosCdzz积分值为0，因被积函数在|z|1内解析。（3）112Cdzz1212Cdziz33.5求积分zCedzz的值，其中C为由正向圆周|z|=2与负向圆周|z|=1所组成。解：||2||1220zzzczzeeedzdzdziizzz3.6解：21cdzzz，其中C为圆周|z|=2。211()(1)fzzzzz在|z|=2内有两个奇点z=0，1，分别作以0，1为中心的圆周C1，C2，C1与C2不相交，则2211112201cccdzdzdziizzzz3.73.8解:计算下列积分值。（1）0sinizdz解00sincos|1cos.iizdzzi（2）11izzedz解11111()|.izzziizedzzeeie（3）0(32)izezdz解200(32)(3)|34.izziiezdzeze3.9解:计算21Cdzz，其中c为圆周||zi=2的右半周，走向为从-3i到i。3211114|.33iiCdzizzii3.10解:计算下列积分。（1）|2|12zzedzz4解22|2|12|2.2zzzzedzieiez（2）2||2211zzzdzz解221||2212(21)|4.1zzzzdzizziz（3）解将被积函数分解因式得到244111iizizeze由于点4ie在圆周||1zi内部，而函数41ize在闭圆盘||1zi上为解析，故42||1||14411222()().2224iziziiidzidzeizieizeze3.11.解计算(21)(2)Czdzzz，其中C是（1）||1z（2）|2|1z（3）1|1|2z(4)||3z（1）被积函数在||1z内仅有一个奇点12z，故122()|.1252()2CzzzizIdzizz（2）被积函数在|1|1z内仅有奇点2z，故24212()|2215zCzzzIdziizz（3）被积函数在1|1|2z内处处解析，故0I（4）被积函数在||3z内仅有两个奇点12z，2z，由复合闭路原理，知512422112552()2CCzziizzIdzdzizz其中1C为||1z，2C为|2|1z。3.12若()fz是区域G内的非常数解析函数，且()fz在G内无零点，则()fz不能G内取到它的最小模。证明：设1(),()gzfz因()fz为非常数解析函数，且zG，()0fz，则()gz为非常数解析函数，所以()gz在G内不能取得最大模，即()gz不能在G内取得最小模。3.13.解计算下列积分。（1）100||1zzedzz(99)0100||1122()|99!99!zzzzeidziez（2）||22sin()2zzdzz||222sin2cos|0()2zzzdzizz（3）123cosCCCzdzz其中1C:||2z,2C:||3z121200333coscoscos112(cos)|2(cos)|02!2!zzCCCCCzzzdzdzdzizizzzz3.14.设()fz在||1z上解析，且在||1z上有|()|||fzzz，试证：'1|()|82f证由柯西积分公式知'||1211()()122()2zfzfdzz则6'||1||1||1||122211|()|1|()|||1||||118|()|||||||8.11112222||||||2224zzzzfzzzfzzzzzfdzdzdzdszzz3.15.设()fz,()gz在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D如果()()fzgz在C上所有的点处成立，试证在C所有的点处()()fzgz也成立。证设()()()Fzfzgz，因()fz，()gz均在D内解析，所以()Fz在D内解析，在C上，()0()FzzC，0z在C内有0||101()()02zFzFzdzizz即00()()fzgz，由0z的任意性知，在C内()()fzgz。