《线性代数》复习提纲

1《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；2判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|；④|kA|=nk|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开3始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)1=(B1)*(A1)，(AT)1=(A1)T；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n;③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法A1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）(施行初等变换)（E:A1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A1）B；XB=A，则X=B(A1)；AXB=C，则X=(A1)C(B1)4二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；5Ⅱ行列式某两行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某两行（列）的元素对应成比例；三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|≠0只有零解(2)|A|=0有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；r(A)n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。6（2）解的结构：X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。3．非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1．N维向量的定义7注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；（3）向量长度|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)（4）向量单位化(1/|α|)α；（5）向量组的正交化（施密特方法）设α1，α2，…，αn线性无关，则β1=α1，β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。3．线性组合（1）定义若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A＝(α1，α2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)若r(A)=r(B)，则β可以用向量组α1，α2，…，αn的8一个线性表示；若r(A)≠r(B)，则β不可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设k1α1+k2α2+…+knαn=0，若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法：①r(α1，α2，…，αn)n，线性相关；r(α1，α2，…，αn)=n，线性无关。②若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关）(行列式太不好打了)5．极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩9（2）求法设A＝(α1，α2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1．定义对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。2．特征值和特征向量的求解：求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3．重要结论：（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1．定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：10求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型1．定义n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。2．二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3．二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：11①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；