《线性代数》总复习

线性代数总复习上页下页铃结束返回首页《线性代数》总复习2013.6线性代数总复习上页下页铃结束返回首页第一章矩阵m×n个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩阵A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(A)=O,数乘：kA=k(aij)k(lA)=(kl)A,(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是m×n矩阵.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换线性代数总复习上页下页铃结束返回首页转置：A=(aij),AT=(aji)方阵的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵.第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换线性代数总复习上页下页铃结束返回首页定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.(AT)1=(A1)T.(kA)1=k1A1.(AB)1=B1A1.运算性质逆阵的求法:定义法用伴随矩阵用初等行变换(AE)→(EA-1)逆阵的证法:A≠0，R(A)=n,反证法第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换线性代数总复习上页下页铃结束返回首页单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义法性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换线性代数总复习上页下页铃结束返回首页其它几个重要定理及结论：矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为A~B.（注意与相似、合同、正交相似的区别）A与B等价R(A)=R(B)定理.方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2.m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。与等价有关的重要定理定理.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页行列式概念性质展开式计算应用第一章矩阵=a11A11+a12A12+…+a1nA1na11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann应用数学归纳法按第一行展开方式定义线性代数总复习上页下页铃结束返回首页性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2行列式互换两行(列)，行列式变号。推论:行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论:行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。第一章矩阵行列式概念性质展开式计算应用线性代数总复习上页下页铃结束返回首页11111212221iiniinnnininnaabaaabaDaaba111111112122212211ininininnninnnninnaaaabaaaaabaDaaaaba性质5若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若性质6行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。则此行列式等于两个行列式之和，即第一章矩阵行列式概念性质展开式计算应用线性代数总复习上页下页铃结束返回首页代数余子式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.niijijnjijijnnnnnnAaAaaaaaaaaaaD11212222111211第一章矩阵行列式概念性质展开式计算应用可按任意一行(列)展开线性代数总复习上页下页铃结束返回首页•克拉默法则(求解线性方程组有唯一解的一种方法)•齐次线性方程组有非零解的充分条件•化三角法•递推法•数学归纳法•降阶展开法•拆项法…第一章矩阵行列式概念性质展开式计算应用线性代数总复习上页下页铃结束返回首页其它几个重要定理及结论：定理n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页例1,,.XAXBXAB2323252413134543求矩阵使，其中解.AEXBXAEB122，则AEAEB12322213431232522213134343第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页100010001322313，.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页2221164214112111D350034200310211142rr35003100005102111223rr例2：求四阶行列式03103420350021112141312rrrrrr第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页4590003500051021112310003500051021113443rrrr设A是3阶方阵，且求例3132.AA12A解:132AA11132AAA123A111AA1AAAnAA3123A1627第一章矩阵线性代数总复习上页下页铃结束返回首页第二章n维向量第二章n维向量n维向量运算线性表示线性相关性k11+k22+…+knn=0•ki均为0，则1,2,…,n线性无关•只要有一个ki不为0，1,2,…,n线性相关极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个最大线性无关组。求法：非零子式法、初等变换法极大无关组包含的向量的个数极大无关组向量组的秩线性代数总复习上页下页铃结束返回首页•向量组与矩阵的关系矩阵A=(1,2,…,s)列向量组:1,2,…,s注：行向量的问题与列向量相同矩阵A的秩R(A)向量组的秩RT最高阶非零子式最大线性无关组第二章n维向量线性代数总复习上页下页铃结束返回首页定义：•向量内积(1)对称性:[,]=[,];(2)线性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)|[,]|[,][,].性质：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[,]=0,则称与正交.第二章n维向量•正交矩阵A为正交矩阵ATA=E线性代数总复习上页下页铃结束返回首页21112112144622436979A设矩阵例4A求矩阵的秩和列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用最大无关组线性表示。第二章n维向量线性代数总复习上页下页铃结束返回首页行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对A解，知3)(ARA，00000310000111041211初等行变换~.3个向量组含故列向量组的最大无关124,,aaa124而三个非零行的非零首元在、、三列，故为列向量组的一个最大无关组。第二章n维向量线性代数总复习上页下页铃结束返回首页00000310003011040101~初等行变换A,aaaaaaa3125124433即得,,,35124aaaaaA要把用线性表示，必须将再变成行最简形矩阵第二章n维向量线性代数总复习上页下页铃结束返回首页线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)nR(A)＝R(Ab)解的结构基础解系有无非零解有解判定第三章线性方程组第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页•向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系有解无解向量b能由1,2,…,n线性表示？是否Ax=(1,2,…,n)x=b有无穷多组解有唯一解有效方程数少于未知数个数？R(A)＝R(Ab)?是否R(A)＝R(Ab)n?无有Ax=b有矛盾方程?方程组有解方程组无解否是是否第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页•向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系有非零解只有零解向量组1,2,…,n线性相关？是否Ax=(1,2,…,n)x=0R(A)nR(A)=n注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。只有零解有无穷多组非零解R(A)＝n?是否有效方程数少于未知数个数？否是第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页例5.求0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解:137723521111初等行变换00007/47/5107/37/201该方程组的基础解系可取为通解为,107/47/3,017/57/221).,(,107/47/3017/57/211214321Rccccxxxx第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页解:2/132111311101111初等行变换000002/121002/11011可见原方程组有解,且4443224212/122/1xxxxxxxxx例6.求方程组2/132130432143214321xxxxxxxxxxxx的通解.第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页由此可得原方程组的通解).R,(,02/102/11201001121214321ccccxxxx可见原方程组有解,且4443224212/122/1xxxxxxxxx第三章线性方程组线性代数总复习上页下页铃结束返回首页(E–A)=0基础解系法第四章方阵的特征值和特征向量第四章方阵的特征值和特征向量特征值与特征向量A=，≠0定义求法性质相似矩阵实对称阵特征值特征向量定义法特征方程|E–A|=0定义法1