中考数学复习动点问题的解题技巧

1在运动中分析在静态中求解动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发．题目如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0t2)秒．(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）．(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．一、探求解题思路1．利用基础知识轻松求解由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法，简解1可通过作辅助线，过点C作CF上x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．由比例式求出点C的坐标(43，43)．简解2由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平分线可得直线OC的解析式y＝x；联立方程组轻松解得点C的坐标(43，43)．关于求点M、N的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0，2t)，Q(t，0)，根据对称性可得M(2t，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解．2．动静结合找界点，分类讨论细演算第2问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点之一；而关键是动静结合找界点，得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难点之二．解答时需动手画出草图，随着点M、N的位置的变化，△MNC的位置也随之发生变化，△MNC与△OAB重叠部分的面积S也发生变化.S可能会存在两种情形：①△OAB将△MNC全部覆盖；②△OAB将△MNC部分覆盖；点M从点O出发运动到点A时，即t＝1时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变．由t＝1这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论：当0t≤1时，点M在线段OA上，△OAB将△MNC全部覆盖，重叠部分面积为S△CMN＝S四边形CMON－S△OMN.结合点C的坐标(43，43)，可得S△CMN＝－t2＋2t；2当1t2时，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，△OAB将△MNC部分覆盖，则重叠部分面积为S△CDN.另一个关键是要用t的代数式表示D点的横坐标，即△BDN的高，这是本题的难点之三．由M(2t，0)，N(0，t)可先用t的代数式表示直线MN的解析式y＝－12x＋t．再结合直线AB的解析式y＝－2x＋4，联立方程组，解出D点的横坐标为823t，则重叠部分面积为S△CDN＝S△BDN－S△BCN218233tt综上所述，222(01)1821233ttySttt由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当t＝1时，S有最大值，最大值为1．二、规范解答问题(1)如图2，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．∴OP＝2DQ．∵P(0，2t)，∴Q(t，0).∵对称轴OC为第一象限的角平分线，∴对称点坐标为：M(2t，0)，N(0，t).3(2)①当0t≤1时，如图3所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN.当1t2时，如图4所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN设直线MN的解析式为y＝kx＋b，将M(2t，0)、N(0，t)代入，得20tkbbt综上所述，222(01)1821233ttySttt②画出函数图象，如图5所示：观察图象可知，当t＝1时，S有最大值，最大值为1．三、解题反思41、关键的一步本题在突破第2问时，能否得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一步，否则就不知该如何分类讨论，解题就难以找到前进的方向．2、解题难点解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点P运动的时间为t(0t2)秒，可以确定点肘、N运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）．其次是重叠面积分类，当1t2时，我们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行分割；如何用t的代数式表示点D的横坐标；得出S△CDN＝S△BDN－S△BCN也是比较困难的；再者分类后的计算，稍不注意也可能出错．3、解题收获解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解．首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想．