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1实函数列的若干收敛性关系及其应用摘要本文讨论了实函数列的一致收敛、近一致收敛，几乎处处收敛、依测度收敛这四种收敛的定义及其它们在一定条件下彼此之间的关系，通过一些著名的定理来解释各种收敛性存在的异同。对于不同收敛性之间，它们相互推导需要不同条件，其中一致收敛需要的条件最严格。在条件的变化下（一般可测集和有限的可测集），这几种收敛性的相互推导不一定都成立，本文通过一些典型的例子对一些结论和观点做论证。论文结尾还对这四种收敛关系进行一个作图归纳。关键字：一致收敛依测度收敛近一致收敛几乎处处收敛2SomeRealFunctionsanditsApplicationConvergenceAbstractThispaperdiscussestheconvergenceofrealfunctionsthesamecolumn,nearlyuniformconvergence,almosteverywhereconvergence,convergenceinmeasureofthesefourdefinitionsandtheirconvergenceundercertainconditionstherelationshipbetweeneachother,throughsomewell-knownconvergencetheoremtoexplaintheexistenceofsimilaritiesanddifferences.Convergencebetweendifferent,theyeachrequiredifferentconditionsarederived,inwhichtheconditionsrequiredforuniformconvergenceofthemoststringent.Changesintheconditionsunder(generalandlimitedmeasurablesetmeasurableset),thesetypesofconvergencedonotnecessarilyhavesetupmutualderivation,thispapersometypicalexamplesofsomeoftheconclusionsandopinionsdodemonstration.Convergenceofthesefourpapersattheendoftherelationshipisalsoamappingsummarized.Keywords:ThesamecriterionAccordingtomeasurerestrainingNearlythesamecriterionAlmosteverywhereinyourhorns31绪论实函数列收敛性是大学本科阶段的一个重要内容，贯穿着数学专业学生大学四年的学习。在《数学分析》上、下册、《实变函数论》、《计算方法》等课程中都有介绍和应用到实函数列的收敛性。不仅如此，在未来的硕士、博士学习阶段我们还要学习到相关的内容，因此理解和掌握实函数列的不同收敛性的定义以及它们彼此之间的关系，对今后的学习，更高领域的研究都有着非常重要的作用。在大学四年的专业学习里，我学到实函数列的几种不同的收敛性，其中我认为一致收敛、依测度收敛、近一致收敛、几乎处处收敛是几种比较重要的收敛性，并且它们之间又有着紧密的联系，这是我大学里面非常重要的专业知识，在这里我觉得有必要对之前所学的一些知识做一个总结。2函数和实函数列若干收敛性的定义广义函数又叫做分布理论。用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。后来随着泛函分析的发展，L.施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论,接着И.□.盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。2.1数列收敛的定义设{na}为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时有|na—a|，则称数列{na}收敛于a，定数a称为数列{na}的极限，并记作nlimna=a，或naa（n）.2.2函数列收敛的定义设1f,2f…，nf，…（1）是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。设0xE，以0x代入（1）可得)(01xf，)(02xf，…，)(0xfn，…（2）若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点0x收敛，0x称函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点0x发散。若数列（1）在数集DE上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。可测函数的定义42.3可测函数定义设)(xf是定义在可测集EnR上的广义实值函数。若对于任意的实数t，点集{xE：)(xft}(或简写为{x：)(xft})是可测集，则称)(xf是E上的可测函数，或称)(xf在E上可测。2.4实函数列的一致收敛性定义设函数列{nf}与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N,使得当nN时，对一切xD,都有|nf(x)—)(xf|,则称函数列{nf}在D上一致收敛于f，记作nf(x))(xf(n),xD2.5实函数列的依测度收敛性定义设E是可测集，)(xf，)(1xf，)(2xf，…都是在E上几乎处处取有限值的可测函数，如果对于任意0，都有nlimmE[x；|)(xfn—)(xf|]=0则我们就说)(xfn在E上依测度收敛于)(xf.记为)(xfn)(xf于E.2.6实函数列的近一致收敛性定义设f，nf(nN)是可测集E上几乎处处有限的可测函数。如果对于任意的0，恒存在E的可测子集E，使得m(E—E)，而在E上序列nf(x)一致收敛于f（x），则称序列nf(x)在E上近一致收敛于)(xf.2.7实函数列的几乎处处收敛性定义设)(xf，)(1xf，)(2xf，…，)(xfk，…是定义在点集EnR上的广义实值函数。若存在E中的点集Z，有m（Z）=0及nlim)(xfk=)(xf，xZE,则称{)(xfk}在E上几乎处处收敛于)(xf，并简记为5)(xfk)(xf，a.e.xE.3实函数列若干收敛性彼此间的关系3.1一致收敛性与依测度收敛性的关系3.1.1定理设)(xf，)(1xf，)(2xf，…，)(xfk…是E上几乎处处有限的可测函数。若对任给的0,存在EE且m（E）,使得{)(xfk}在E﹨E上一致收敛于)(xf，则{)(xfk}在E上依测度收敛于)(xf.证明对任给的，0,依假设存在EE且)(Em，及自然数0k，使得当k0k时，有|)(xfk—)(xf|,xE﹨E.由此可知{xE：|)(xfk—)(xf|≥}E这说明当k0k时，有m（{xE：|)(xfk—)(xf|≥}）.3.2几乎处处收敛与一致收敛的关系3.2.1若{nf}在E上一致收敛，则在E上处处收敛，当然在E上几乎处处收敛，这里可由定义可知。3.2.2.EropoB定理设（X，，）为测度空间，EX,{nf}为E上的可测函数列，（E）+。如果{nf}在E上几乎处处收敛于有限实函数f，则对0，必存在E的可测子集E，使得（E—E）,且在E上，{nf}一致收敛于f.证明设f为E上的可测函数（否则修改一个零集上f的值，使它可测，而把这个零集放入被挖掉的集E—E中）。因为{nf}在E上几乎处处收敛于f，故存在零集E，使得nlimnf（x）=f（x），xE—0E=1E.将零集E0E放入被挖掉的集E—E中，由此我们只须在1E上证明定理成6立即可。令,mkE=1E（|mf—f|k1）,nkB=nm,mkE=1E（|mf—f|k1，m=n,n+1,…）.任选自然数列kn，s,tklimkn=+，并作集合F=1k,nkB=1E（|mf—f|k1，mkn，k=1,2…），则对0，取0k1,当m0kn时，有|mf—f|01k,xF,即{nf}在F上一致收敛于f。因为对固定的k，有1,kB2,kB…,nkB…，所以nlim,nkB=1n,nkB=1nnm=1E，nlim（,nkB）=（nlim,nkB）=（1E）=（E—0E）=（E）.由于（E）+，故对0，可取充分大的kn，s,t.（E）—（,knkB）k2.而且可以依次取kn1kn。用这一列{kn}作出上述集合F，于是得到（E—F）=（E—1k,knkB）=（1k（E—,knkB））1k（E—,knkB）=1k[（E）—（,knkB）]1kk2=E=F即为定理中所求的集合。3.2.3定理设（X，，）为测度空间，EX，{nf}为E上的可测7函数列，f为E上的实函数。(1)一般的，有{nf}在E上几乎处处收敛于f（≠）对0，必存在E的可测子集E，使得（E—E）,且在E上，{nf}一致收敛于f.(2)当（E）+时，有{nf}在E上几乎处处收敛于f对0，必存在E的可测子集E，使得（E—E），且在E上，{nf}一致收敛于f.证明（1）（）由右边条件，对m=m1，必存在E的可测子集1mE，s.t.(E—1mE)m1,且在1mE上，{nf}一致收敛于f.令F=1m1mEE，显然，{nf}在F上处处收敛于f，且0（E—F）=（E—1m1mE）=（1m（E—1mE））（E—1mE）m10(m+),故0（E—F）0，即（E—F）=0因此，{nf}在E上几乎处处收敛于f.（≠）设（1R，,m）为Lebeesgue测度空间，E=（0，+）1R，函数nf：E=（0，+）R，)(xfn=),,(,0],,0(1nxnx，n=1,2，…处处收敛于1。.但对0以及任何可测集E，当（E—E）=m（E—E）时，{nf}在E上不一致收敛于1.8（反正）假设{nf}在E上一致收敛于1，则对=1，NN,当nN时，有|)(xfn—1|=1，xE.由于（（0，+）—E）=m（（0，+）—E），所以E[0,n].因而，必有nxE（n，+），)(nnxf=0，于是1=|0—1|=|)(nnxf—1|1,矛盾。（2）（）由3.2.2的定理可得。（）由（1）中的充分性。3.2.4定理设（X，，）为测度空间，{nf}在可测集E上几乎处处收敛于有限实函数h,则必存在E上可测函数f，使nlimnff，fh.证明因为nf在E上几乎处处收敛，所以0E，s.t.(0E)=0,且nf在E—0E上处处收敛于g。因为E—0E为E的可测子集，根据可测函数烈的极限定理可得，g在E—0E上为可测函数。今作E上的函数)(xf=000),(ExEExxg，—根据可测函数的性质，可知f为E上的可测函数。显然nlimnf=)(xf，xE—0E,(0E)=0.这就证明了在E上，有nlimnf)(xf.由条件，在E上nlimnfh，则1E，（1E）=0.S.tnlimnf=()hx,xE—1E.因此E(f=h)(E—0E)(E—1E)=E—0E1E从而E(fh)0E1E显然0（0E1E）（0E）+(1E)=0+0=09即（0E1E），所以，在E上f.3.3几乎处处收敛与依测度收敛的关系3.3.1依测度收敛不论是在有限可测集上还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛。例如：我们用以下步骤构造定义在（0,1）上的函数列，首先定义)(10xf=1，x,[0,1]，其次将[0,1]二等分，在[0,1]上定义两个函数：)(20xf=