第三章 导数及其应用

2009名师面对面系列丛书(一轮总复习)广州博研图书发展有限公司制作严禁转载违者必究知识框架考试要求§3.3生活中的优化问题§3.1导数的概念及其计算§3.2导数在研究函数中的应用知识框架平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系导数与(最)值的关系导数的实际应用返回章菜单考试要求（1①了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数②通过函数图象直观地理解导数的几何意义.（2①能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求③会使用导数公式表.（3①了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，x1②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.（4返回章菜单返回章菜单知识要点例题剖析知识要点1.平均变化率设函数y=f(x)，那么式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,简记为2.导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0即f′(x0)=当x=x0也变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数),y′=f′(x)=1212)()(xxxfxf.xf△x→0linxxfxxf)()(00△x→0lin,xf.)()(00xxfxxf△x→0lin.)()(00xxfxxf△x→0lin3.函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).4.（1）f(x)=c(c为常数)；答:f′(x)=0（2）f(x)=xn（n∈Q）；答:f′(x)=nxn-1（3）f(x)=sinx；答:f′(x)=cosx（4）f(x)=cosx;答:f′(x)=-sinx（5）f(x)=ax;答:f′(x)=axlna（6）f(x)=ex;答:f′(x)=ex（7）f(x)=logax；答:f′(x)=（8）f(x)=lnx；答:f′(x)=axln1（9）y=f(x)±g(x)；答:y′=f′(x)±g′(x)（10）y=f(x)·g(x)；答:y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（11）y=(g(x)≠0);答:y′=)()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxf返回节菜单例题剖析[例1]过曲线y=x3-3x上的一点P的切线平行于x轴,则点P的坐标是()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)或(-1,-2)D.(-1,2)或(1,-2)[答案]D[解析]y′=3x2-3,设P（x0,y0）,则y′|x=x0=3x0-3=0∴x0=±1当x0=1时,y0=-2,当x0=-1时y0=2∴P(1,-2)或P(-1,2)[例2]求下列函数的导数;cos1sin1)3();34)(43()2(;233451)1(253535xxyxxxxyxxxy[解析]=x4-4x2+3(2)y′=［(3x5-4x3)(4x5+3x3)］′=(12x10-7x8-12x6)′=120x9-56x7-72x5)2()3()34()51()1(35xxxy2)cos1(1cossinxxx[点评]求函数的导数可以利用导数公式和运算法则.22)cos1()sin)(sin1()cos1(cos)cos1()cos1)(sin1()cos1()sin1()3(xxxxxxxxxxy[例3]用导数的定义求曲线在x=1处的切线方程.4xy[解析]∴y′=在x=1处的切线斜率k=y′|x=1=所以切线方程为xxxxxy44441)44()4()4(xxxxxxxxxxxf△x→0lin△x→0lin421441xxxx1055109105),1(1055xyxy即[点评]在某一点切线的斜率就是该点对应的导数.根据定义求导数的方法为：①求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x);②求平均变化率③求极限xf;)()(xxfxxfxf△x→0lin△x→0lin).()()(xfxxfxxf延伸拓展1已知曲线上一点P(1,2),用导数定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.222xy[解析]K=,22)1(2)1()1(2xfxffxf△x→0lin△x→0linxx22)1(22△x→0lin=］22)2(1［42)1(222xxx△x→0lin=1222422)2(1242xx∴tanα=1,∴倾斜角为α=45°,切线方程为y-2=x-1即x-y+1=0.[例4]日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.（1）90%；（2）98%)10080(1005284)(xxxC[解析]净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,1005284)(xxC.)100(5284,)100()100(5284)100(5284)(22xxxxxC.1321)98100(5284)98()2(;84.52)90100(5284)90()1(22CC答:（1）纯净度为90%时,费用的瞬时变化率为52.84元/吨；（2）纯净度为98%时,费用的瞬时变化率为1321元/吨.[点评]函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由（1）（2）计算可知C′(98)=25C′(90)，这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.[例5]已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有导数为0；②图象过点（0,-3）；③在该点处的切线与直线2x+y=0平行,（1）求f(x)的解析式；（2）求过点（1，-4）的切线方程.[解析]（1）设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,（2）f′(x)=2x-2,则切线的斜率k=f′(1)=0,所以切线方程为y=-4.32)(,321,32023)0(2)0(0)1(2xxxfcbacbbafff即由题设可得延伸拓展2已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处导数值为0（1）求f(x)（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.返回节菜单返回章菜单[解析]（1）f′(x)=3ax2+2bx-3.依题意f′(1)=f′(-1)=0（2）令f′(x)=0,得x=±1,点A(0,16)不在曲线y=x3-3x上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足：y0=x30-3x0∵f′(x0)=3x20-3,∴切线方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0)又点A(0,16)在切线上,∴16-（x30-3x0）=3(x20-1)(-x0)解得x0=-2,∴切点为M(-2,-2)∴切线方程为9x-y+16=0xxxfbababa3)(,0,1,032303233解得即知识要点例题剖析知识要点1.单调性在某个区间(a,b)内,如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.极值求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时，（1）如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值.注意：可导函数在极值点处的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y=x3在x=0处导数为零，但x=0不是极值点.3.最值求函数y=f(x)在［a,b（1）求函数y=f(x)在(a,b)（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意①函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较，函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函②函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值;③如果连续函数在区间（a、b）内只有一个极值，则极大（小）值即是［a、b］上的最大（小）值.返回节菜单例题剖析[例1]函数f(x)的定义域为开区间（a、b）,导函数f′(x)在(a、b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间（a、b）内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4[答案]A[解析]f′(x)0时，f(x)单调递增；f′(x)0时，f(x)单调递减。极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)0→f′(x)=0→f′(x)0由图象可知只有1个极小值点.[例2]求函数y=x2-2lnx的单调区间.[解析]首先注意定义域x0，).1,0(),,1(,10,0,0)1)(1(,0,1,0,0)2)(1(,0)1)(1(222减区间是是所以函数的单调增区间得令得令xxxxxyxxxxxyxxxxxy[点评]求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域.[例3]已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调区间..)1,31(),1()31,()(,1310)(.131,0123)(.)(2131123102631)1(0)1(223上为减函数在上分别为增函数在所以得由或得由解得即，、xfx，xfxxxxxfxxxxfbababaff[解析]f′(x)=3x2-6ax+2b,∵f(x)在x=1处有极小值-1[点评]函数f(x)在x=x0处有极值，必有f′(x0)=0,反之若f′(x0)=0，则x0不一定是极值点.回答单调区间时不能把(-∞,-)、(1,+∞)写成(-∞,-)∪(1,+∞).3131延伸拓展1已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点（1,0）,（2,0）,（1）x0（2）a,b,c的值.[解析]（1）由图象可知在（-∞,1）上f′(x)0，在（1，2）上f′(x)0，在（2，+∞）上f′(x)0.故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值5，所以x0=1.（2）f′(x)=3ax2+2bx+c由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,50412023cbacbacba得解得a=2,b=-9,c=12.[点评]本题是一道识图题与文字理解相结合题目，需要从图形中提取信息，并且要注意极大值点的意义.[例4]（07年全国卷Ⅰ）设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.（1）求a、b（2）若对任意的x∈［0,3］都有f(x)＜c2成立,求c的取值范围.[解析]（1）f′(x)=6x2+6ax+3b∵f(x)在x=1及x=2时取得极值.∴有f′(1)=0,f′(2)=0（2）由（1）可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c在［0,3］上,f(0)=8c,f(1)=5+8cf(2)=4+8c,f(3)=9+8c所