【学海导航系列】2012高考数学二轮复习名师精品课件--专题2第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应

专题二三角变换与平面向量、复数()sin()1yAwx三角函数是描述周期现象的数学模型．高考中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动、以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期性现象是新的命题背景．新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例在原来的教材中只有阅读材料，教材中有几处涉及三角函数在物理学科中的应用，如用函数的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角．函数是描述周期变化现象的重要函数模型．显示重视三角函数实际应用的意图．()2融入三角形之中的实际问题也常出现．这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来．备受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正余弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解．一、三角函数图象的应用例1已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t)．下表是某日各时的浪高数据：经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象．t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放．请根据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？【分析】读取与分析表中的数据，求得模型后，把第(2)问的情景转化为一个简单的三角函数不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解．01.51.5311cos1.261222.126.01.1,201.0.51tyAbtybTbTAyt则由，，得，①由，，得②所以，，所以振幅为所以由表中数据知解，周期，析：1cos11cos0.22()123123()0240,1,2039152122690015004..81266200200062ZZyttkkkktkktktttt由题知，当＞时才可对冲浪爱好者开放．所以＞，所以＞所以，即＜＜．③因为，故可令有个小时时间可供冲浪③中分别为，得＜或＜＜或＜故在规定时间上午：至者运动，即上午：至晚上：之间：，下午读取与分析表中的数据，是求解此题的关键，也是一种数学思维能力的训练，【点评】要加强．403020cosABCCBB如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船二、解三角形的朝北偏东的方向沿直线前往处例应救援用，求2的值．2222cos120280020sinsin12040201207.,sinsin21.727.cos30coscos(370ABCABACBACABBBCABACABACBCACBBACBACACBCACBBACABBCACBACBACB，得由正弦定理得由，则为锐如题图所示，在中，，，，角，由余弦定理，则解由知，析：)coscos30si2nsin301.14ACBACB本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理以及两角和余弦公式的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题【点评】的能力．41262RABCDABADBCCDABCDRADDCABBCP长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是的圆面．该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米．请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面的半径的值；因地理条件的限制，边界、不能变更，而边界、可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一3点例；使APCD得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值．222222180.46246cos42224cos.1coscoscos.2(0180)60.1146sin6024sin120221ABCDABCDABCADCACACABCACADCABCADCABCABCABCS四边形因为四边形内接于圆，所以连接，由余弦定理，，又，所以解因为，，故析：83()万平方米．2222cos116362462827.22274212332221()3ABCACABBCABBCABCACabRsinAsinBACRsinABCR在中，由余弦定理，，所以由正弦定理，所以，以万米所．22222221sin12023.213sin60.242cos60282228APCDADCAPCADCAPCSSSSADCDAPxCPySxyxyACxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyS四边形四边形因为，又设，，则又由余弦定理，所以，所以，当且仅当时取等号．所以3323232894493APCDxy，所以最大面积为万平方米．本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题【点评】的能力．1.11303011106060(12)APBCDA在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站上午时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到时分又测得该船在岛北偏西、俯角为的处．该船沿直线航行求船的航行速度；又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距备选例题岛：有多远？2222Rt6013.3Rt30.330609033033330136230(/) 1PABAPBPAABPACAPCACACBCABBCACAB如图所示，在中，，，则在中，，则在中，，则，故船的航行速度解析：米为千小时．2906030sinsin(180)sin333101030sinsin(30)sincos30cossin3033133311010110.102210202DACABDCAACBACBBCCDAACBACBACB，，3310993133310133311020AADACACDsinDCAsinCDAACsinDCAADsinCDA在中，据正弦定理得，所以，即此时船距离岛千米． 本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的【评】能力．点1．三角函数模型的常见应用．三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题时有着广泛的应用．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述．三角函数模型的常见类型有：(1)航海类问题：涉及方位角概念．方位角指的是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．(2)涉及正、余弦定理与三角函数图象有关的应用题.2010年全国高考有一解答题正是此类应用题．(3)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题，即求最值．(4)三角函数在物理学中的应用．2．解三角形应用题的一般步骤：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)正确选择正、余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算的要求．