曹广福版实变函数第三章习题解答

第三章习题参考解答1第三章习题参考解答1.设f是E上的可测函数，证明：Ra，})(|{axfxE是可测集.解：Ra，因为)(xf是E上的可测，所以})(|{axfxE与})(|{axfxE均是可测集.从而})(|{axfxE})(|{axfxE})(|{axfxE可测.2.设f是E上的函数，证明：f在E上的可测当且仅当对一切有理数r，})(|{rxfxE是可测集.证：)(Ra，取单调递减的有理数序列1}{kkr使得arkklim，则})(|{})(|{1kkrxfxEaxfxE.由每个krxfxE)(|{}的可测性，知})(|{axfxE可测.从而，)(xf在E上的可测.)(设f在E上的可测，即Ra，})(|{axfxE可测.特别地，当ra时有理数时，})(|{rxfxE可测.3.设f是R上的可测函数，证明：对于任意的常数，)(xf是R上的可测函数.为证上述命题，我们先证下面二命题：命题1.若E是R中的非空子集，则R，有EmEm*||*证明：当0时，因为}0{E，则EmEm*||*.不妨设，0.因为EIIEmiiii11||inf{*，iI为开区间}.0,存在开区间序列1}{iiI，EIii1，||*||*1EmIEmii.又因为EIii1（注：若),(iiiI，则),,(),,(iiiiiI.第三章习题参考解答2所以EmIIIEmiiiiii*||||||||||||*111.由得任意性，有iiiiiIEIIEm,||inf{*11为开区间}故存在开区间1}{iiI，使EIii1，且EmIEmii*||*1.又因为EIii11，故EmIEmii*|1|*1.由得任意性，有EmEm**||从而EmEm**||.命题2.设RE，Em*，则E可测R，E可测.(由P54.19题的直接推论).证：)(是直接的，我们仅需证明)(R，如果0，则}0{E为零测集.故E可测.不妨设0.现在证明RT，)(*)(**ECTmETmTm.事实上，对于RT，则RT1，因为E在R可测，所以)1(*)1(*)1(*CETmETmTm，即)(*||1)(*||1*||1CETmETmTm)(*)(**ECTmETmTm即E可测.3.设f是R上的可测函数，证明：对于任意常数，)(Ef仍是R上的可测函数.解：记RE，对于R，当0时，Ra，afREafafxE)0(,)0(,})0(|{.故})(|{axfxE可测所以：)(xf可测.第三章习题参考解答3当0时，R，令xy，则})(|{})(|{ayfxyEaxfxE=})(|{1ayfyE.在因为f在R可测，故})(|{ayfyE可测，又由命题2，})(|{})(|{axfxEayfyE可测.从而)(xf使RE上哦可测函数.4.设)(xf是E上的可测函数，证明：3)]([xf在E上可测.证明：R，因为)(xf在E上可测.所以})(|{3axfxE是可列集.即})(|{})(|{33axfxEaxfxE可测.从而3)]([xf在E上可测.5.若],[ba上的函数)(xf在任意线段],[)(ba上可测，试证它在整个闭区间上也可测.证明：Nk，),(]21,21[11babbbaEkkk，)(xf在kE上可测，记),(*baE，则kkEE1.又因为R，})(|{})(|{*1xfxExfxEkk.由每个})(|{xfxEk的可测性，得})(|{*xfxE可测.所以)(xf在),(*baE可测.令},{0baE，],[baE即EEE*.})(|{})(|{*})(|{0xfxExfxExfxE故})(|{xfxE可测，从而)(xf在E上可测.],[E7.设f是E上的可测函数，证明：（i）对R上的任意开集O，)(1Of是可测集；(ii)对R中的任何开集F，)(1Ff是可测集；（iii）对R中的任何G型集或F型集M，)(1Mf是可测集.证：（i）当O时R中有界开集时，由第一章定理11（P.30），O是至多可数个互不相交的开区间iii)},{(的并，即),(iiiO.})(|{)],[()],([)(111iiiiiiiiixfEffOf第三章习题参考解答4由f在E上哦可测性，知：每个})(|{iixfxE可测，从而)(1Of可测.若O是R的误解开集，Nn，记],[nnEn，则nnEOO是R中有界开集，且nnOO1，故][][)(11111nnnOfOfOf.故由)(1nOf得可测性，知)(1Of可测.(ii)设F是R中的任一闭集，记FRO是R中开集.)()(11FRfOf=)()(11FfRf，即)()()(111OfRfFf.由)(1Of与)(1Rf得可测性，知，)(1Ff可测.（iii）设G，F分别为R中G型集和F型集.即，存在开集列1}{kkG，闭集列1}{kkF使得kkGG1kkFF1，从而，][)(111kkGfGf且][)(111kkFfFf.由)(1kGf与)(1kFf的可测性，知)(1Gf与)(1Ff均可测.8.证明：E上两个可测函数的和仍是可测函数.证明：设)(xf，)(xg是E上的两个可测函数，令})(|{0xgxEEE，Ra)}(})(|{})()(|{00xgaxfxEaxgxfxE=)()(|{01XgarxfxEii=iirxfxE)(|{[01}])(|{0iraxgxE.由)(xf，)(xg在E可测，知)(xf，)(xg在0E可测.从而Ni，}])(|{0irxfxE与}])(|{0iraxgxE可测.故})()(|{0axgxfxE可测.又因})(|{xgxE})()(|{axgxfxE是零测集，故可测.从而gf在E上可测.9.证明：若)(xf是1E及2E上的非负可测函数，则f也是21EE上的非负可测函数.证明：因为)(xf是1E及2E上的非负可测函数，则Ra，})(|{1axfxE与})(|{2axfxE均可测.于是，记21EEE，则})(|{axfxE})(|{1axfxE})(|{2axfxE可测.从而)(xf在21EEE上非负可测.第三章习题参考解答510.设E是nR中有界可测集，f是E上几乎处处有限的可测函数，证明：0，存在闭集EF，使得)(FEm，而在F上)(xf有界.证明：（法一）由sinlu定理，0，闭集EF，使得)(FEm且)(xf在F上连续，现在证)(xf在F上有界.如果)(xf在F无界，即0M，Fxm使得Mxfm|)(|.特别的，当11M时，Fx1有11|)(|Mxf；当}2,1|)(max{|2xfM，Fx2，使得22|)(|Mxf；;当},1|)(max{|kxfMk时，Fxk，使得kkMxf|)(|，从而，得F中互异点列Fxk}{，使得Nk，kxfk|)(|，即|)(|limkkxf.另一方面，因为F为有界，且Fxkk1}{，故1}{kkx有一收敛子列1}{kkx，不妨设0limxxknk，则Fx0，又因为)(xf在0x连续.对1，Nk0，0kk时，恒有1|)(||)(||)(||)(|000xfxfxfxfkknn，即)(|1|)(|0xfxfkn.取Nk*，|)(|1*0xfk，则*|)(|*kxfkn，但由*knx得定义，有***|)(|knxfknk，这是一矛盾.从而)(xf在F有界.证明：（法二）由sinlu定理，0，闭集EF，使得)(FEm且)(xf在F上连续，现在用有限覆盖定理证：)(xf在F上有界.Fx0，因为)(xf在0x连续.所以对1，00x使得FxOxx),(00，恒有：1|)()(||)()(|00xfxfxfxf，即1|)(||)(|0xfxf.从而),(000xFxxOF.因为F是有界闭集，故由有限覆盖定理，存在)1(0x，)2(0x，,Fxk)(0，Nk，使得),()(0)(01ixikixOF.取}11|({|)(0kixfnaxMi，则Fx，有),(0)(xioxOx，Mxfxfi1|)(|)(|)(0.从而)(xf在F有界.11.设}{nf是E上的可测函数序列，证明：如果0，都有第三章习题参考解答6}|)(|{1xfxmEnn，则必有0)(limxfnn][,Eea.证：0，因为}|)(|{1xfxmEnn，故0}|)(|{lim1xfxmEnnN.又因为})1|)(|{(}0)(|{11kxfxExfxEnNnNkn故})]1|)(|{([}0)(|{11kxfxEmxfxmEnNnNkn}]1|)(|{[lim}1)(|{lim11kxfxEmkxfxEmnNnNknNk110}]1|)(|{limknNnNkkxfxmE，故0)(limxfnn][,Eea12．证明:如果)(xf是nR上的连续函数，则)(xf在nR的任何可测自己E上都可测.证明：（1）先证：)(xf在nR上可测.令nRE，Ra，因为)),((})(|{1afaxfxE.现在证：)),((1af是一个开集.事实上，)),((10afx，),[)(0axf，取2)(0axf.因为)(xf在0x连续，则对于02)(0axf，0，使),(0xOx时，|)()(|0xfxf，即))(,)(()(00xfxfxf)2)()(,.2)()((0000axfxfaxfxf)2)()(,.2)()((0000axfxfaxfxf),()2)()(,.2)((000aaxfxfaxf，故)],[(),(10afxO，从而)],[(1af为开集，可测.即，)(xf在nR上可测.(2)再证：nRE可测，f在E可测.事实上，这是P59性质2的直接结果.14.设}{nf,}{nh是E上的两个可测函数序列，且ffn，hhn，hf,(都是E上的有限函数)证明：（i）hf,是E上可测函数（ii）对于任意实数，，hfhfnn若mE，则还有第三章习题参考解答7（iii）hfhfnn若mE，且nh，h在E上几乎处处不等于0，则（iv）hfhfnn.证明：（i）因为ffn，nf是可测函数列，由Riesz定理，}{nf有一个子列}{knf，使得ffkn][,Eea.再由P62性质4，f是在E可测，同理，h在E可测.（ii）先证：