2019届高考数学一轮复习-第二章-函数-第四节-二次函数与幂函数-文

节二次函数与幂函数总纲目录教材研读1.二次函数考点突破2.幂函数考点二二次函数的图象与性质考点一求二次函数的解析式考点三三个“二次”间的转化考点四幂函数的图象与性质1.二次函数(1)二次函数的定义形如①f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).教材研读(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质a0a0图象  定义域RR值域②  对称轴x=③- 顶点坐标 奇偶性b=0⇔y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数单调性在 上是④减函数;在 上是增函数在 上是⑤增函数;在 上是减函数最值当x=- 时,ymin=⑥ 当x=- 时,ymax= 24,4acba24,4acba24,24bacbaa,2ba,2ba,2ba,2ba2ba244acba2ba244acba2ba2.幂函数(1)幂函数的定义形如⑦y=xα的函数称为幂函数,其中x是⑧自变量,α为⑨常数.(2)五种常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质(i)当α0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都通过点⑩(0,0)、 (1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当α0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都通过点 (1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.函数特征性质y=xy=x2y=x3y= y=x-1定义域 RRR [0,+∞){x|x∈R且x≠0}值域R [0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性 奇偶 奇非奇非偶 奇单调性 增x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0]时,减 增增x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减定点 (0,0),(1,1) (1,1)12x(4)五种常见幂函数的性质1.y=x2-6x+5的单调减区间为 ()A.(-∞,-3]B.(-∞,3]C.[-3,+∞)D.[3,+∞)答案By=x2-6x+5=(x-3)2-4,表示开口向上,对称轴为直线x=3的抛物线,其单调减区间为(-∞,3],故选B.B2.函数g(x)=x2-2x(x∈[0,3])的值域是 ()A.[0,3]B.[-1,3]C.[-1,0]D.[1,3]B答案B由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],得g(x)在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数.所以g(x)min=g(1)=-1,而g(0)=0,g(3)=3.所以g(x)在x∈[0,3]上的值域为[-1,3],故选B.3.函数y=x2+ax+6在 上是增函数,则a的取值范围为 ()A.a≤-5B.a≤5C.a≥-5D.a≥55,2C答案Cy=x2+ax+6在 上是增函数,由题意得- ≤ ,∴a≥-5,故选C.,2a2a524.下图是①y=xa;②y=xb;③y=xc,在第一象限内的图象,则a,b,c的大小关系为 () A.cbaB.abcC.bcaD.acbD答案D根据幂函数的性质,可知选D.5.幂函数y=f(x)的图象经过点(2, ),则f(9)=.23答案3解析设f(x)=xα,由题意得 =2α,所以α= .所以f(x)= ,所以f(9)= =3.21212x129典例1(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(-2,0),且有最小值-1,则f(x)=.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.考点一求二次函数的解析式考点突破答案(1)x2+2x解析(1)设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由题意得 =-1,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)∵f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,∴f(x)图象的对称轴为直线x=2.24044aaa又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,∴a=1,∴所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.规律总结求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下: 1-1已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.x2+2x+1答案x2+2x+1解析设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.1-2若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则f(x)=.-2x2+4答案-2x2+4解析由f(x)是偶函数知,f(x)的图象关于y轴对称,∴-a=- ,即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.2ab考点二二次函数的图象与性质命题方向命题视角二次函数图象的识别利用二次函数解析式或性质判断函数图象二次函数的单调性问题求二次函数的单调区间或由单调性求参数二次函数的最值问题求二次函数的最值或根据最值求参数典例2(2018河北保定质检)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若abc且a+b+c=0,则它的图象可能是 () 命题方向一二次函数图象的识别D答案D解析由abc且a+b+c=0,得a0,c0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c0,所以排除B,故选D.典例3已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.命题方向二二次函数的单调性问题解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a,要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).22a(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3= 其图象如图所示. ∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.222223(1)2,0,23(1)2,0,xxxxxxxx◆探究1若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求a的取值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),则a为何值?解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.典例4已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为 ()A.2B.-1或-3C.2或-3D.-1或2命题方向三二次函数的最值问题D答案D解析函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为直线x=a,且图象开口向下,分三种情况讨论如下:①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.②当0a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在(a,1]上是减函数,∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a= 或a= ,∵0a≤1,∴两个值都不满足,舍去.③当a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.综上可知,a=-1或a=2.152152规律总结1.确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置;三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点,函数图象的最高点或最低点等.从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.2.二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.2-1已知abc0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是() D答案DA项,∵a0,- 0,∴b0.又∵abc0,∴c0,而f(0)=c0,故A错.B项,∵a0,- 0,∴b0.又∵abc0,∴c0,而f(0)=c0,故B错.C项,∵a0,- 0,∴b0.又∵abc0,∴c0,而f(0)=c0,故C错.D项,∵a0,- 0,∴b0,∵abc0,∴c0,而f(0)=c0,故选D.2ba2ba2ba2ba2-2已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值.解析∵函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,∴函数图象的对称轴为直线x=1,∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-2a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,f(x)取得最小值,即f(x)min=a2-2a;当a1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-1.综上,当-2a≤1时,f(x)min=a2-2a;当a1时,f(x)min=-1.典例5若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围.考点三三个“二次”间的转化解析(1)由f(0)=1得c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴ ∴ 因此,f(x)=x2-x+1.22,0,aab1,1.ab(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得m-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.规律总结2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪