高三导数复习习题课

导数复习基本初等函数求导公式(1)0)(C(2)1)(xx(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx2sec)(tan(6)xx2csc)(cot(7)xxxtansec)(sec(8)xxxcotcsc)(csc(9)aaaxxln)((10)xxee)((11)axxaln1)(log(12)xx1)(ln，(13)211)(arcsinxx(14)211)(arccosxx(15)21(arctan)1xx(16)21(arccot)1xx函数的和、差、积、商的求导法则设)(xuu，)(xvv都可导，则（1）vuvu)(（2）uCCu)(（C是常数）（3）vuvuuv)(（4）2vvuvuvu复合函数求导法则设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为dxdududydxdy或)()(xufy。1.导数定义的应用例1(2008北京高考）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，011limxfxfx_________．解：由图可知3222042xxxxxf　　　　　，根据导数的定义知011limxfxfx21f．例２(2006重庆高考)已知函数xecbxxxf2,其中Rcb,，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若,142cb且4lim0xcxfx，试证：26b．解：xecbxbxxf22，易知cf0．故cbfxfxfxcxfxx000limlim00，所以,14,42cbcb解得26b．2.利用导数研究函数的图像例3（2009安徽高考）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是解：/()(32)yxaxab，由/0y得2,3abxax，∴当xa时，y取极大值0，当23abx时y取极小值且极小值为负．故选C．或当xb时0y，当xb时，0y选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数()yfx的导函数．．．在区间[,]ab上是增函数，则函数()yfx在区间[,]ab上的图象可能是A．B．C．D．解:因为函数()yfx的导函数．．．()yfx在区间[,]ab上是增函数，即在区间[,]ab上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学2BCAyx1O34561234ababaoxoxybaoxyoxyby所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；高考资源网（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）32()1fxxaxx求导得2()321fxxax当23a时，0，()0fx，()fx在R上递增；当23a，()0fx求得两根为233aax，即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增。（2）因为函数()fx在区间2133，内是减函数，所以当2133x，时0fx恒成立，结合二次函数的图像可知203103ff解得2a．点评：函数在某区间上单调转化为导函数0fx或0fx在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在223333aaaa，上递减，所以2232333133aaaa求解．【变式1】（2004年全国高考）若函数11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围．解：12aaxxxf，令0xf得1x或1ax，结合图像知614a，故7,5a．点评：本题也可转化为4,10xxf，恒成立且,60xxf，恒成立来解．【变式2】(2005年湖南高考)已知函数0221ln2axaxxxf存在单调递减区间，求a的取值范围；解：.1221)(2xxaxaxxxxf因为函数xf存在单调递减区间，所以0xf在,0上解，从而0122xax有正解．高考资源网①当0a时，122xaxy为开口向上的抛物线，0122xax总有正解；②当0a时，122xaxy为开口向下的抛物线，要使0122xax总有正解，则044a,解得01a．综上所述，a的取值范围为,00,1．【变式3】（2009浙江高考）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．解：函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于0xf在区间)1,1(上有实数解，且无重根．又21232aaxaxxf，由0xf，得32,21axax。从而,32,11aaa或.32,1321aaa解得,21,11aa或,21,15aa所以a的取值范围是.1,2121,5点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6（2009江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7解：设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)xx，所以切线方程为320003()yxxxx即230032yxxx，又(1,0)在切线上，则00x或032x，当00x时，由0y与21594yaxx相切可得2564a，当032x时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a，所以选A.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（2008辽宁高考）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）高考资源网A．112，B．10，C．01，D．112，解：由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，可得曲线C在点P处切线的斜率范围为10，，又22xy，设点P的横坐标为0x，则12200x，解得2110x，故选A．5.利用导数求函数的极值与最值例7（2009天津卷理）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。（I）解：.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+0—0+↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数点评:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。例8（2008年天津高考）已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围．解：2()(434)fxxxax，显然0x不是方程24340xax的根．为使()fx仅在0x处有极值，必须24403xax成立，即有29640a．解不等式，得3838a．这时，(0)fb是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是88[,]33．6.利用导数解决实际问题例9用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为x2(m)，高为230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为2306935.423322xmxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令0'xV，解得0x（舍去）或1x，因此1x.当10x时，0'xV；当231x时，0'xV，故在1x处xV取得极大值，并且这个极大值就是xV的最大值，从而最大体积3321619'mxVV，此时长方体的长为2m，高为1.5m例10(2009年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mmxxxxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+＝2562256mxmxm．（Ⅱ）由（Ⅰ）知21221256mxxmxf，令'()0fx，得32512x，所以x=64w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当0x64时'()fx0，()fx在区间（0，64）内为减函数；