解析函数的概念

第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:,,,)(00的范围不出点点中的一为定义于区域设函数DzzDzDzfw,)(.)(00的导数在这个极限值称为可导在那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz记作,)()(lim000存在如果极限zzfzzfz在定义中应注意:.)0(00的方式是任意的即zzzz.)()(,0000都趋于同一个数比值时内以任意方式趋于在区域即zzfzzfzDzz.)(,)(可导在区域内我们就称导内处处可在区域如果函数DzfDzf例1.)(2的导数求zzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz.2zzz2)(2注例2.Im)(的可导性讨论zzfzzfzzfzf)()(解zzzzIm)Im(zzzzImImImzzImyixyix)Im(,yixy,0)0(时而使向当点沿平行于实轴的方zyzzfzzfzfzz)()(limlim00,0lim00yixyyx,0)0(时而使向当点沿平行于虚轴的方zxzzfzzfzfzz)()(limlim00,1lim00iyixyxy,,0极限值不同时向使当点沿这两个不同的方z.Im)(在复平面上处处不可导故zzf例3是否可导？　　　问yixzf2)(zzfzzfzfzz)()(limlim00解zyixiyyxxz2)(2)(lim0yixyixz2lim0，轴的直线趋向于沿着平行于设zxzzxyoz0yxyoz0yyixyixz2lim0,1lim0xxx，轴的直线趋向于沿着平行于设zyzz0xyixyixz2lim0,22lim0yiyiy　　　不存在的导数所以.2)(yixzf2.可导与连续:函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证,0可导的定义根据在z,0,0,||0时使得当z,)()()(000zfzzfzzf有)()()()(000zfzzfzzfz令,0)(lim0zz则)()(00zfzzf因为,)()(lim000zfzzfz所以.)(0连续在即zzf[证毕],)()(0zzzzf3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:.,0)()1(为复常数其中cc.,)()2(1为正整数其中nnzznn).()()()()3(zgzfzgzf).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf)0)((.)()()()()()()()5(2zgzgzgzfzgzfzgzf)().()()]([)6(zgwzgwfzgf其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf且函数两个互为反函数的单值是与其中4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致..)()(,)(,0)(lim,)()()()(,)(000000线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz.)(,)()(000zzfdwzzfwzzf记作的微分在点称为函数定义.)(,00可微在则称函数的微分存在如果函数在zzfz特别地,,)(时当zzfzwddzzf)(0,z,d)()(d00zzfzzfw0dd)(0zzzwzf即.)(00可微是等价的可导与在在函数zzzfw.)(,)(内可微区域在则称内处处可微区域在如果函数DzfDzf二、解析函数的概念1.解析函数的定义.)(,)(00解析在那末则称导的某邻域内处处可及在如果函数zzfzzzf).()(.)(,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数DzfDzfDzf2.奇点的定义.)(,)(00的奇点为那末称不解析在如果函数zfzzzf根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例4.)(2)(,)(22的解析性和研究函数zzhyixzgzzf解由本节例1和例3知:;)(2在复平面内是解析的zzf;2)(处处不解析yixzg,)(2的解析性下面讨论zzhzzhzzh)()(00zzzz2020zzzzzzz0000))((,00zzzzz,0)1(0z.0)()(lim000zzhzzhz,0)2(0z,)(0000zxxkyyzz趋于沿直线令zzyixyixxyixyi11ikik11,的任意性可知由k.11不趋于一个确定的值kikizz.)()(lim000不存在从而zzhzzh，z.,,,0)(2析它在复平面内处处不解根据定义不可导而在其他点都处可导仅在因此zzzh,0z时当例5.1的解析性研究函数zw解,01处处可导在复平面内除因为zzw,1dd2zzw且,0外处处解析在复平面内除所以zw.0为它的奇点z例6.)Re()(的可导性与解析性研究函数zzzf解,0)1(zzfzfz)0()0(lim0,0)Re(lim0zzzz.0)Re()(处可导在故zzzzf,0)2(zzzfzzf)()(zzzzzzz)Re()Re()()Re()]Re()[Re(zzzzzzz,yixz令zzfzzf)()(,xxyixxz,)()(lim00xzzfzzfyx因为,)()(lim00xzzzfzzfxy.)()(lim0不存在所以zzfzzfz.,,,0)(析它在复平面内处处不解根据定义可导而在其他点都不处可导仅在因此zzf,)(,0不可导时即当zfz课堂练习.1的解析性研究函数zw答案处处不可导,处处不解析.定理.)()()()1(内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域DzgzfD.)]([,)(,.)(,)()2(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh以上定理的证明,可利用求导法则.根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的..,)()()2(它的奇点使分母为零的点是的零的点的区域内是解析在不含分母为任何一个有理分式函数zQzP三、小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.思考题?)(00解析有无区别可导与在在点复变函数zzzf思考题答案,)(00可导解析必在在点zzzf反之不对.,0)(02处可导在例如zzzf.00处不解析但在z放映结束，按Esc退出.