数字信号处理2003答案-DSP试卷-数字信号处理试卷-华工期末考试

1《数字信号处理》结业考试答案2003-06-18总分：100分1．(8分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：(a)}27,3,65,34,52{]}[{jjjjjnh(b)}27,3,65,34,52{]}[{jjjjjnh解：(a)}52,34,65,3,27{]}[{*jjjjjnh}5.15.4,25.3,5,25.3,5.15.4{])[][(*5.0][*jjjjnhnhnHcs}5.35.2,5.0,,5.0,5.35.2{])[][(*5.0][*jjjjjnhnhnHca(b)}34,65,3,27,52{][*jjjjjnNh}5.25.1,5.24,5.24,5.25.1,2{])[][(*5.0][*jjjjnNhnhnHpcs}5.05.5,5.31,5.31,5.05.5,5{])[][(*5.0][*jjjjjnNhnhnHpca2.(8分)下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。][][][nxnxny解：(a)令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有][][][111nxnxny][][][222nxnxny])[][(])[][(][][][2121nxnxnxnxnxnxny][][])[][(])[][(212211nynynxnxnxnx所以此系统为线性系统。(b)设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出为y1[n],则][][)]([][][][][0000111nnxnnxnnxnnxnxnxny][][][nxnxny][][][000nnxnnxnny][][10nynny此系统为移位变化系统。2(c)假设Bnx][，则有Bnxnxnxnxny2][][][][][所以此系统为BIBO稳定系统。(d)此系统为非因果系统。3.(6分)确定下列序列的平均功率和能量][35][nunxn能量为：16/2525/911)53()35()35(][0202022nnnnnnnnnnnxnx功率为：knnnknknnkknknkxkknxkp02022)35(121lim)35(121lim][121lim025/9125/91121lim)259(121lim10kkknnnkxkkp4．(6分)已知x[n]（10Nn）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]（1）用X[k]表示序列]3[][Nnxnv的DFT变换（2）如果nnx][（10Nn），求其N点DFT。解：(1)][][][/63kXekXWkVNkjkN(2)kNNkNNnnkNNnnkNnNnnkN11][][10101035．.(8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数)()()(zXzYzH解：)()())()((][121211zVzVzkzVzzVkzkzX则)()(11)(211212zXzkzkkkzV又)()()()(121121zYzVzzzVkz则有)(])[(][211122zVzzkzY}{)(1)(211212211122zXzkzkkkzzk6．(10分)以以下形式实现传输函数为543215116807.02005.143.39.45.31)7.01()(zzzzzzzH的FIR系统结构。(1)直接形式(2)一个一阶系统，两个二阶系统的级联。解：(1)Z-1Z-1X(z)-k1a1a2Y(z)k2-k2V[z]z-1z-1z-1z-1z-11-3.54.9-3.431.2005-0.16807x[n]y[n]4(2))49.04.11)(49.04.11)(7.01()7.01()(2121151zzzzzzzH7.(10分)低通滤波器的技术指标为：01.1(99.0)jeH3.0001.0()jeH35.0用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为05.0ps。由于M=3.11,所以：5205.011.3M，且：其它0)122cos(5.05.0][MnMMnnw一个理想低通滤波器的截止频率为325.02/)(psc，所以滤波器为：][)())(sin(][][][MnwMnMnMnwMnhnhcdt，Mn208．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且1.0(0.0)jeH1.000.1(9.0)jeH3.0。解：我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在0.49-1.4y[n]z-1z-1-0.7x[n]z-10.49-1.4z-1z-15双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为1.0c，通带截止频率为3.0p，且A=1/0.1=10,9199.0112=0.4843先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2,且)2tan(有：1584.0)05.0tan()2tan(ss5095.0)15.0tan()2tan(pp用变换ssˆ/1将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有9627.15095.0/1/1ˆpp3138.61584.0/1/1ˆss所以模拟滤波器的选择因子(transitionratioorelectivityparameter)为3109.0ˆˆspk判别因子(discriminationparameter)为：04867.0121Ak因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：59.2)/1log()/1(log110kkN我们取N=3,则7853.0ˆˆ)ˆˆ(22pcNcp1509.2ˆˆ1)ˆˆ(22scNcsA我们可取1509.2ˆˆ7853.0ˆscp，如取5.2ˆc，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：61)ˆ/ˆ(2)ˆ/ˆ(2)ˆ/ˆ(1)ˆ(23cccassssH1ˆ8.0ˆ32.0ˆ064.011)5.2/ˆ(2)5.2/ˆ(2)5.2/ˆ(1)ˆ(2323sssssssHa用低通到高通的转换关系ssˆ/1将低通滤波器转换为高通滤波器：3238.032.0064.0)(sssssHa最后采用双线性变换1111zzs3112111131111)11()11(8.01132.0064.0)11()()(11zzzzzzzzsHzHzzsa184.2288.3072.2456.0)1(12331zzzz9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号：y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．解：因为X(z)与Y(z)的关系如下：)()25.05.01()(2zXzzzYddnn以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：ddnnzzzG225.05.011)(注意到：)()(dnzFzG，且2125.05.011)(zzzFF(z)的极点在：)31(25.0jz它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内dnr)5.0('处，所以G(z)是可实现的。710(14分))一个线性移不变系统的系统函数为1*11)(azazzH，这里1a(a)求实现这个系统的差分方程(b)证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）(c)H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应g(n)。解：(a)1*11)()()(azazzXzYzH))(()1)((*11azzXazzY对方程的两边进行反z变换：][]1[]1[][*nxanxnayny(b)频率响应为：jjjaeaeeH1)(*所以幅值的平方为：1)Re(21)Re(2111)()()(*2*2***2jjjjjjjjjeaaeaaeaaeaeaeeHeHeH所以系统为一个全通滤波器©1*1**11)(1111)(zaazaazazzG此系统在*/1az处有一极点，在az/1处有一零点。因为1a，极点在单位圆外。所以，如果g[n]是稳定的，收敛域一定为az/1。因而g[n]是左边序列。][)(]1[)(][)1(*1*nuaanuangnn