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1DCT变换及Gabor滤波器主讲:薛洋yxue@scut.edu.cnLecture15数字信号处理DigitalSignalProcessing2本讲主要内容正交变换DCT变换及性质背景简介小波变换Gabor变换2DGabor滤波器3一、正交变换4正交变换(1)设空间是由N维空间下的一组向量张成即:12{,,,}NXspan12,,,NNnnnx1任一向量x都可作如下分解5正交变换(2)信号的离散表示,或信号的分解12,,,N是分解系数或信号的变换系数Nnnnx1由x正变换由x反变换12,,,N12,,,N6正交变换(3)正交性:1,0ijijijij完备性:如果空间中的任一向量x都可由来分解,则称该向量是“完备(complete)”的i7正交变换(4)正交变换举例FS,FT,DTFT,DFS,DFTDCT,DSTDWT(DigitalWaveletTransform)8二、DCT变换及性质离散余弦变换(DCT)9长度为N的时序列x[n]的N点DFTX[k]是复序列,且若N为偶数,则DFT样本X[0]和X[N/2]是实数,其余的N-2个样本关于K=0共轭对称;若N为奇数,则DFT样本X[0]是实数,其余的N-1个样本关于K=0共轭对称;说明:DFT变换存在冗余离散余弦变换(DCT)将任意序列转换为对称或反对称序列,然后从几何对称序列的DFT序列中提取正交变换系数。Why?][][NkXkX有限长序列的几何对称10Type1:全样本对称(WS)Type2:半样本对称(HS)Type3:全样本反对称(WA)Type4:半样本反对称(HA)对一个序列进行这四种拓延就可以得到16种类型的周期延拓序列x[n]的四种周期延拓112型DCT变换12长度为N的序列x[n],0≤n≤N-11、构造长度为2N的序列xe[n]12,010],[][NnNNnnxnxe2、由xe[n]构造2型对称序列y[n],0≤n≤2N-112],12[10],[]12[][][NnNnNxNnnxnNxnxnyeey[n]满足对称性质:]12[][nNyny2型DCT变换13y[n]的2N点DFT:120,)2)12(cos(][2)(][][][]12[][][][120,][][102/22/222/22102/2)12(2210210122122102122102120NkNnknx12],12[10],[]12[][][NnNnNxNnnxnNxnxnyee2型DCT变换14Y[k]的前N个样本乘以,可得长为N的2型序列x[n]的N点离散余弦变换(DCT):10,)2)12(cos(][2][10NkNnknxkXNnDCT2/2kNW离散余弦逆变换(IDCT):11,10,2/1][10,)2)12(cos(][][1][10NkkkNnNnkkXkNnxNnDCT120,)2)12(cos(][2][102/2NkNnknxWkYNnkNNnk2)12(cos(基本序列是互相正交的DCT性质151,0,][][1,0,][][NknkHnhNknkXnxDCTDCTDCTDCT若已知以下变换对:1、线性性质:2、对称性质:][][][][kHkXnhnxDCTDCTDCT][][kXnxDCTDCT3、能量保留性质:102102][][21][NnDCTNnkXkNnx16三、Gabor背景知识介绍17Gabor其人DennisGABORElectricalengineerandphysicist,HungarianbornEnglishNobelpriceofphysicsin1971forinventingholography(全息摄影)D.Gabor还被公认为是Wavelet(小波)变换的创始人之一相关代表作D.Gabor.Theoryofcommunication.JournaloftheInstituteofElectricalEngineers,93:429–549,1946提出了ShortTimeFourierTransform(1946)18Fourier变换回顾Fourier变换是整体上将信号分解为不同的频率分量(任何信号都可分解为复正弦信号之和)对确定性信号及平稳信号适用Fourier变换缺乏时间的局部性信息但对时变信号、非平稳信号,Fourier频率分析存在严重不足无法告知某些频率成分发生在哪些时间内无法表示某个时刻信号频谱的分布情况例如:语音信号、手写文字图像信号等等19时频分析举例20-0.200.2PartieréelleSignaltemporelEchellelin.Densitéspectraled'énergie|STFT|2,Lh=50,Nf=256,Ech.Log.,Seuil=5%TempsFréquence10020030040050000.10.20.30.4GABOR时频分析举例(2)21时频分析举例(3)-0.4-0.200.2PartieréelleSignaltemporel05381076Echellelin.Densitéspectraled'énergie|STFT|2,Lh=50,Nf=256,Ech.lin.,Seuil=5%TempsFréquence10020030040050000.10.20.30.4ACCORD22三、Wavelet变换简介23浅谈小波(Wavelet)变换波(Wave)01002003004005006007008009001000-2-1.5-1-0.500.511.52Ondesinusoïdale24浅谈小波(2)小波(Wavelet)Oscillatingmotherfunction,welllocalizedbothintimeandfrequency:y(t)25浅谈小波(3)什么是小波?Afamilybuiltbydilationandtranslationy(t)y(t/2)y(t/4)26浅谈小波(4)小波基函数:y(t)y(t-20)y(t-40)-1-0.500.51-100-5050100t-1-0.500.51-100-5050100t-1-0.500.51-100-5050100t)(abtya:尺度因子b:平移量27WavesvswaveletsWaveFrequencyInfinitedurationNotemporallocalization•Wavelet•Scale•Duration(windowsize)•Temporallocalization28Wavelet变换对信号f(t)的小波变换定义如下:dtabttfabafTwav)()(1),(y)(1)(,abtatbayy小波基函数:b:确定小波函数的“中心”位置;a:确定小波的时域宽度;Wavelet变换29设)()(),()(,,yybaFbaFtt则时域中心时域宽度时域中心时域宽度)(ty)(,tbay0xbxxxa中心频率频域宽度中心频率频域宽度)()(,baaaa2xa2),(ab所谓小波变换就是提取f(t)在左边矩形窗口内的时域和频域信息30四、Gabor变换31信号的局部化分析321DGabor变换331DGabor变换(2)Gabor时频谱Fourier频谱34与小波变换做比较35从Fourier变换到Gabor变换加窗短时Fourier变换(WindowFouriertransformorShortTimeFourierTransform)dsetsgsxtXsj)()(),(sjtetsgsy)()(,定义基函数如下:WhentandvaryItconstitutesafamilywhichcanbeconsideredasakindof«basis»36从Fourier变换到Gabor变换g(s)代表窗函数,可以取Hanning,Hamming,Gauss窗等等。当取Gauss窗函数时,例如:2241)(xexgdseesftfTsjgaborts22)(41)(),(所得到的变换称为Gabor变换:Gabor窗函数复正弦37四、2维Gabor滤波器382DGabor滤波器Gabor滤波器的数学表达式:Spacedomain:asinusoidalplane-wavemodulatedbyaGaussiankernels(x,y)——complexsinusoid,thecarrierw(x,y)——2-DGaussian-shaped,theenvelopeabKbyaxKyxwyvxuiyxsyxwyxsyxg/1)))/()/((exp(),())(2exp(),(),(),(),(2200392DGabor滤波器Theparameters(u,v)definethespatialfrequencyofasinusoidalplanewave,whichcanalsobeexpressedinpolarcoordinatesasradialfrequencyfandorientationθ202020vuf00/tanuvsincos0000fvfu40GraphicsforcomplexsinusoidDuetodiff.orientationθDuetodiff.frequencyfRealimaginaryRealimaginary41Projectionofthesinusoidto2Dplane正弦平面波具有很强的方向选择性。实部和虚部的相位相差90度不同的频率决定了正弦平面波的波纹周期。频率越高,波纹的周期越短42Gaborfilter(3)Gaussianenvelopecanberewrittenby:)))()((exp(),(220220byyaxxKyxwrrsin)(cos)()(000yyxxxxrcos)(sin)()(000yyxxyyr),(00yx•a,b:standarddeviationsoftheellipticalGaussianalongx-axesandy-axes•KiscoefficientofGaussianenvelope,itshouldbeequalto1/ab•rsubscriptstandsforarotationoperation•istheangleofrotationoftheenvelope:thepeakofthefunction(thecenterofthereceptivefield)43GraphicsoftheGaussianenvelope44Gaborfilter(4)CompelteGaborfilterform:7parametersforGaborfilter.Inpractical,itisusuallyassumedthat:a=b=1/f;theGaussia
本文标题:Lecture-15--数字信号处理应用讲座之二:DCT变换及Gabor滤波器-华工数字信号处理课件
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