2.1随机变量的概念及离散型随机变量详解

第2章随机变量及其分布§2.1随机变量一、随机变量概念的引入在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现4点”“出现5点”“出现6点”X=1X=2X=3X=4X=5X=6S记X=出现点数“出现正面”“出现反面”例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是，我们可以人为地给它们建立起一个联系.Y=1Y=0SY在上述的例子中，变量X和Y有个特点是，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果.也就是说，它们的取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量.由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了.这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变量”这一概念还有更为深远的意义.二、随机变量的概念在例1中，对每一个试验结果，“自然地”对应着一个实数，而在例2中，这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函数”概念在本质上一回事.定义：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.SXR12)(1X)(2X3一对一或多对一注意：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示；而表示随机变量所取值时，一般采用小写字母x,y,z等.,（2）随机变量与高等数学中函数的比较：①随机变量的定义域为S,值域为R；②随机变量的取值范围在试验之前就能确定，但不能预先肯定它将取哪个值；③由于试验结果（即随机事件）的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1分，出现反面时输1分.则其样本空间为S={正面，反面}正面，反面，则11-{X记X：赢钱数正面反面X1-1或例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（T）出现情况的试验中，记X：正面出现的次数.则:HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110则:{X=3}={X=2}={X≤1}=→P{X=3}=1/8{HHH}→P{X=2}=3/8{HHT,HTH,THH}→P{X≤1}=4/8=1/2{HTT,THT,TTH,TTT}例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数，故样本空间为),0[S={t|t≥0}若X：灯泡寿命，则X=X(t)=t是随机变量.SXt≥0t三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和非离散型（1）若随机变量可能取的值是可数有限个或可列无穷多个，则称为离散型随机变量.如例1，例2.例：某一城市每天发生火灾的次数为X,则X:0,1,2,3，…(可列无穷多个)（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变量.非离散型随机变量的情况比较复杂，其中最重要也是最常遇到的是连续型随机变量，如例3.本书只研究离散型和连续型随机变量两种.§2.2离散型随机变量及其概率分布定义：如果随机变量X所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以和自然数集},,,2,1{nN中的元素1-1对应),则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量及其概率分布设离散型随机变量X所有可能取的值为,,21xx,则X取值为ix的概率iipxXP)(,,2,1i.称为离散型随机变量X的概率分布或分布律.分布律还可以简单地表示为：Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…分布律具有以下性质:，，　21,0.1ipi1.21iip例1:实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中的34台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布律.解：X的所有可能取值为：　)(kXP510，，，k，344034355CCCkk0,1，…，5，因此，X的分布律为:X012P0.010.180.81例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律.解：X的所有可能取值为:)(kXP该分布律也可以简单地用表格表示为：，　kkkC221.09.0.210，，k0，1，2.则例3:设随机变量X具有分布律5,4,3,2,1,)(kakkXP（1）确定常数a,解：（1）1)(51kkXP151a.从而1)54321(51aakk即由分布律的性质,得),2521(XP),21(XP（2）计算.),2(XP).62(XP(2))2521(XP)2()1(XPXP51152151)21(XP51152151)2()1(XPXP)2(XP151)1(XP)62(XP)5()4()3()2()1(XPXPXPXPXP1155154153152151如果随机变量X只取两个值,其分布律为:（1）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布.特别地，如果两点分布取值为0和1,分布律为:X01Piqp则称X服从参数为p的0-1分布。其中，q=1-p.例1:射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成功.如果每次射击成功的概率为0.45,令　　　　否则　当射击成功,0,1X则随机变量X服从0-1分布,分布律为X01Pi0.550.45解：令　　　　否则　取得合格品,0,1X,则X服从0-1分布,其分布律为X01Pi0.10.6+0.3取得合格品的概率为9.0)1(XP例2:商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品,1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张,求取得合格品的概率.当取到正品时当取到次品时,1,0X例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95则X服从(0-1)分布，其分布律为：X01Pi0.050.95例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保险费10元，在2年内自行车被盗，可从保险公司获得赔付300元，已知自行车被盗的概率的概率为p(0p1),用X表示保险公司在每辆被保险的自行车上的收益，写出X的概率分布.解：2年内自行车若被盗，则X=否则，X=因此，X服从两点分布，其概率分布为：X10-290Pi1-pp10-300=-29010（2）二项分布(伯努利试验)在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，则X是一个随机变量,它的所有可能取值为0,1,2，…，n.设每次试验中A发生的概率为p,，则.,...,2,1,0,)1()(nkppCkXPknkkn的概率分布为：定义：若一个随机变量X.,...,2,1,0,)1()(nkppCkXPknkkn).,(~.,pnbXpnX记为的二项分布服从参数为则称注意：（1）二项分布的背景是伯努利概型；（2）当n=1时，即为0-1分布.即：X01Pi1-pp用表格表示如下:X012345P24310244051024270102490102415102411024例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀.如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学生中成绩优秀的人数”，求X的分布律.X的所有可能取值为0,1，…，5，且X~b(5,1/4).解：.5,...,2,1,0,)25.01(25.0)(55kCkXPkkk例2:一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻:(1)恰有3台计算机被使用的概率是多少?(2)至多有2台计算机被使用的概率是多少?(3)至少有2台计算机被使用的概率是多少?解：设X为在同一时刻8台计算机中被使用的台数,则X~b(8,0.6)，于是：)3()1(XP)2()2(XP622871880084.06.04.06.04.06.0CCC0498.0)2()3(XP71880084.06.04.06.01CC9915.053384.06.0C1239.0)2()1()0(888PPP)1()0(188PPX012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168当k从0增加时,概率)(kXP经历了一个从小到大,又从大变小的过程,事件“5X”发生的概率最大,我们称之为最可能事件,“5次”为最可能次数.一般地,若X~),(pnb,则当pn)1(是整数时,X有两个最可能次数pn)1(及pn)1(-1;当pn)1(不是整数时,最可能次数为pn)1((即pn)1(的整数部分).注意：二项分布和0-1分布的关系由于伯努利试验是n次相互独立的重复试验,每次试验只有两个可能结果,即事件A发生或者不发生,如果令，　　　　　　否则发生次试验中，第01AiXini,,2,1则每一个iX都服从0-1分布,且有相同的分布律X01Pi1-ppni,,2,1n次伯努利试验中A发生的次数X有:nXXXX21即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和,而且这n个随机变量的取值互不影响.反之,n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布.（3）几何分布如果随机变量X所有可能取值为,2,1,而取各个值的概率为,2,1,)1()(1kppkXPk　则称X服从几何分布.例1：社会上定期发行某种奖券，中奖率为p.（1）求一次购买的分布律；（2）求到中奖为止所需购买次数的分布律.（1）设“X=1”表示中奖，“X=0”表示未中奖，则X01Pi1-pp则X~(0,1).解：（2）设到中奖为止所需购买的次数为Y,Y123…k…Ppqpq2p…qk-1p…则Y服从几何分布.则Y的可能取值为1,2,……P(Y=k)=pqk-1,k=1,2,……则Y取各个值的概率为用表格表示如下：如果随机变量X所有可能取值为,2,1,0,而取各个值的概率为（4）泊松分布,2,1,0,!)(kekkXPk　其中0为常数,则称X服从参数为的泊松分布,记X~)(P.泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,常见于所谓稠密性的问题中.例如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数,车站某时段等车人数及医院每天的就诊人数等都服从泊松分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布.例1：某商店某种商品日销量X~)5(P,试求以下事件的概率:(1)日销3件的概率;(2)日销量不超过10件的概率;解:)3(XP(1)5!35ek(2))10(XP140374.05100!5ekkk986305.0例2:统计资料表明某路口每月交通事故发生次数服从参数为6的泊松分布,求该路口一个月内至少发生两起交通事故的概率.解：设该路口每月发生的交通事故次数为X,由题设,X~)6(P,因此,所求概率为)2(XP9826.0!16!061660ee即该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故的概率为0.9826)1()0(1XPXP注意：二项分布的泊松逼近例:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则X~b(400,0.02).X的分布律为P{X=k}=C400k×0.02k×0.98400-k，k=0,1,2,…,400于是所求概率为P{X