高等数学积分表推导全过程

高等数学积分表推导过程１(一)含有ax+b的积分1.Cbaxabaxdbaxadx++=++=+∫∫ln1)(11bax2.()()Cuabaxbaxdadxuuu+++=++=+∫∫)1()()(bax1bax3.Cbaxbbaxabaxbaxdabdaxbaxbaxadxbaxbbaxadxbaxaxadxbaxx++−+=++−++=+−+=+=+∫∫∫∫∫)ln(1)(1112224.++−+−++=+−−+=+=+∫∫∫∫∫∫baxbaxdbbaxdbbaxdbaxadxbaxbabxbaxadxbaxxaadxbaxx)()(2)()(12)(11232222222Cbaxbbaxbbaxa++−+−+=ln)(2)(2112235.()CxbaxbxCabbaxbCaxbaxbdxaxbaxbabaxxdx++−=++++−=+−+−=−+−=+∫∫ln1lnln1ln1lnln111)(116.()()Cxbabaxbabxxdxbabaxdxbadxxbdxbxabaxbaxbbaxxdx+−++−=−++=−++=+∫∫∫∫∫lnln11111222222222Cxbaxbabx+++=ln127.()()()()Cbaxabbaxabaxdxabbaxdxadxbaxabbaxabaxxdx++⋅++=+−+=+−+=+∫∫∫∫1ln11122222Cbaxbbaxa++++=ln128.()()()()()∫∫∫∫++−+−=+−+−=+−−+=+Cbaxbbaxbaxabaxdxabbaxxdxabaxdxbaxababxbaxadxbaxx2322222222222ln212219.()()()()CxbaxbbaxbCbxbaxbbaxbxdxbbaxdxbabaxbadxbaxxdx++−+=+++−+=++−+−=+∫∫∫∫ln11lnln1112222222（二）含有bax+的积分10.()()Cbaxabaxdbaxadxbax++=++=+∫∫332111.()()()()()∫∫∫+−=++−+=+−++=+3232522315232521baxbaxaCbaxabbaxadxbaxabdxbaxbaxadxbaxxC+12.()()()⋅−−+=+−+−++=+∫∫∫∫baxaabbaxadxbaxabdxbaxxabdxbaxbaxadxbaxx23152[2722127322222()()()()CbaxbabxxaaCbaxabbax+++−=++−+32223332381215105232]高等数学积分表推导过程２13.()()=++−+=++−+=+−++=+∫∫∫∫∫Cbaxabbaxabaxbaxdabdxbaxabaxdxabdxbaxbaxabaxxdx232223211()Cbaxbaxa++−=232214.()()()()+++−++=+−+−++=+∫∫∫∫∫∫baxdbaxabbaxdbaxabaxdxabbaxxdxabdxbaxbaxadxbaxx3233222222121()Cbaxbbxxaabaxdxab+++−=+∫22232284315215.∫+baxxdx当b0时，有Cbbaxbbaxbbaxdbbaxbbaxbaxbabaxxdx+++−+=+++−−++=+∫∫ln1112当b0时，令ax+b=t,则dx=dtaabtd1=−Cbtbbtdbtbbtdbtbtdbttabtdtabaxxdx+−−=−+⋅−−=+−=−=−=+∫∫∫∫∫arctan21121122122Cbbaxb+−+−=arctan2所以=+∫baxxdx()()+−+−+++−+0arctan10ln1bCbbaxbbCbbaxbbaxb16.∫∫∫∫∫∫∫−+−+−=+−++=+−++=+badxxbbaxbbaxabxbaxxdxbadxbxbaxbaxbaxxdxbadxbaxbxbaxbaxxdx2222222222222∫∫∫+−+−=+−′−′−=+baxxdxbabxbaxbaxxdxbadxvvuvubaxxdx22217.∫∫∫∫∫+++=+++=+++=+baxxdxbbaxbaxxdxbdxbaxadxbaxxbbaxadxxbax2)(18.∫∫∫∫∫+⋅−+−=+++=+++=+baxxdxbabbxbaxbbaxxdxabaxxdxbdxbaxxbbaxxadxxbax21)(222高等数学积分表推导过程３∫∫+++−=++baxxdxaxbaxbaxxdxa2（三）含有x2±a2的积分19.∫+22axdx设x=atant(22ππ−t)那么taax2222sec=+tdtadx2sec=于是CaxaCdtadttataaxdx+=+==+∫∫∫arctan11secsec2222220.()∫+naxdx22用分部积分法，n1时有()∫+naxdx22()()()()()()∫∫+−+−++=+−++=−−−dxaxaaxnaxxdxaxxnaxxnnnnn222122122222122112)1(2即()()()nnnnIaInaxxI21122112−−++=−−−于是()()()−++−=−−1122232121nnnInaxxnaI由此作递推公式并由CaxaI+=arctan11即可得nI()()()()()∫∫−−+−−++−=+∴12221222221232121nnnaxdxannaxanaxdx21.Caxaxadxaxaxadxaxaxaxdx=+−=+−−=−⋅+=−∫∫∫ln2111211122(四)含有ax2+b(a0)的积分22.()∫∫∫+=+=+=+0arctan11111222bCxbaabxbaxbadbabxbadxbbaxdx()()()0ln2111212+−+−−−=−+−−−−=−−−+=+∫∫∫bCbxabxaabdxbxabxaabbxabxadxbaxdx23.∫∫++=+=+Cbaxbaxdxbaxxdx2222ln212124.()()CbaxxbCbaxabaxbdxbaxbaxbxdxxbax++=++⋅−=+−=+∫∫22222ln21ln21ln11125.∫∫∫∫+−=+−++=+baxdxabaxdxbaxabdxbaxbaxabaxdxx2222221126.()∫∫∫∫++−−=+−=+Cbaxdxbabxbaxdxbabxdxbaxxdx222221高等数学积分表推导过程４27.()()ln2ln221ln21ln2112222222222222323baxbabxCbaxabaxbabxdxxbabaxbxabxbaxxdx+−−=++⋅+−−=−++=+∫∫CbxxbaxbaCbax+−+=++2222221ln228.()()()()()()∫∫∫∫∫∫+++−+′=+++−=+++−=+baxdxbdxbaxaxubaxubbaxdxbdxbaxaxbbdxbaxbbaxbaxbbaxdx22222222222222212212121212222axbaxuubxua−=−′+′bbu=′1=′uxu=()()()∫∫∫∫+++⋅=+++⋅−+′=+baxdxbbaxxbbaxdxbdxbaxxaxbaxxbaxdx222222222121212(五)含有)0(2++acbxax的积分29.dxaacbbaxacbxaxdx1222442−∫∫−−+=++当acb42时，有dxaacbbaxacbxaxdx1222442−∫∫−−+=++∫+−+−=142244222bacabxadxbaca令2422bacabxat−+=则dxbacadt242−=则原式=CbacabxabacCtbactdtabacbaca+−+−=+−=+−⋅−∫222222422arctan42arctan4112444当acb42时有dxacbabxabacacbxaxdx∫∫−+−−−=++42414422222令acbabxat4222−+=则dxacbadt422−=则原式Cacbbaxacbbaxacbtdtaacbacba+−++−−+−=−−−=∫4242ln4112444222222综上所述()+−++−−+−+−+−=++∫)4(4242ln41442arctan4222222222acbCacbbaxacbbaxacbacbCbacbaxbaccbxaxdx高等数学积分表推导过程５30.()()cbxaxacbxaxdxabdxcbxaxbaxacbxaxabdxdxcbxaxabaxcbxaxxdx++=++−+++=++−+++=++∫∫∫∫∫222222ln212221222∫++−cbxaxdxab22其中()[]()()+++=++′++=′++cbxaxbaxcbxaxcbxaxcbxax22222ln（六）含有()022+aax的积分31.∫+22axdx由于tt22sectan1=+，不妨设−=22tanππttax，那么taaxsec22=+，tdtadx2sec=于是∫+22axdx∫∫==tdtdttatasecsecsec2，利用例17的结果得Cttaxdx++=+∫tansecln22作图可知axt=tan，aaxt22sec+=，且0tansec+tt，因此()CaxxCaaxaxaxdx+++=+++=+∫2212222lnln32.()∫+322axdx设−=22tanππttax，那么taaxsec22=+，tdtadx2sec=，于是()Ctadttadttataaxdx+−===+∫∫∫sin1sec11secsec22332322axt=tan，txaatcossec122=+=，22costansinaxxttt+=⋅=，()Caxaxaxdx++−=+∫22232233.∫+22axxdx，不妨设−=22tanππttax，那么taaxsec22=+，tdtadx2sec=，于是∫+22axxdx=∫∫++=+==CaxCtatdttatdtatata222sectansecsecsectan34.()∫+322axxdx设−=22tanππttax，那么()taax33322sec=+，tdtadx2sec=，于是()CaxCtadtttatdtatataaxxdx++−=+−===+∫∫∫222333221cos1sectan1secsectan35.−+=+++−++++=+−+=+∫∫∫2222222222222222222)ln()ln(22axxCaxxaaxxaaxxaxdxadxaxaxdxx()Caxxa+++222ln2高等数学积分表推导过程６36.()()()()Caxxaxxaxdxaaxdxdxaxaaxaxdxx++−++=+−+=+−+=+∫∫∫∫22223222223222223222ln37.∫+22axxdx设−=22tanππttax，那么()taax33322sec=+，tdtadx2sec=，于是CxaaxaCttatdtatatatdtaaxxdx+−+=+−==⋅=+∫∫∫22222ln1cotcscln1sin1tansecsec38.∫+222axxdx设−=22tanππtta