兰琦：高考压轴题的研究与讲解

⾼考压轴题的研究与讲解兰琦2016年6⽉23⽇⺫录1引⾔21.1如何研究压轴题..........................................21.2如何讲解压轴题..........................................22函数72.1含参⼆次函数的讨论.......................................72.2参数分离.............................................92.3优雅的作图............................................112.4函数与⽅程............................................133不等式143.1必要条件探路...........................................143.2⼆次函数专题...........................................153.3“形”“元”“次”............................................174向量204.1等系数和线............................................204.2运动的转化和分解........................................204.3极化恒等式............................................235导数255.1端点分析.............................................255.2lnx的应对策略.........................................285.3常⽤对数不等式..........................................326圆锥曲线336.1圆锥曲线的常⽤性质.......................................336.2合理设参.............................................386.3化齐次联⽴............................................406.4仿射变换.............................................427后记4411引⾔21引⾔1.1如何研究压轴题情感不畏难，不贪多．价值观基本功与技巧，⼀题多解，见多识⼴．⽅法论解答(答案)!解析(分析)!解法(总结)!解释(纳⼊)．1.2如何讲解压轴题三个适合适合的学⽣(避免⼀窍不通)，适量的题⽬(有共性，有变化，融会贯通)，适度的讲解(讲关键，练实操，触类旁通)．四个要素⼒量：耐⼼计算，分类讨论能⼒；敏捷：快速试探，精准打击能⼒；智⼒：知识储备，模块重组能⼒；运⽓：⾃强不息，相信天道佑勤．已知定义在R上的函数f(x)=2xb2x+1+a是奇函数，则a=，b=．引例1引例1⼀般解法：f(0)=0，f(1)+f(1)=0；⼒量型训练8x2R;f(x)+f(x)=0；敏捷型训练limx!+1f(x)+limx!1f(x)=0．已知△ABC中，#BD=13#BC，#AE=12#AC，AD与BE交于点P，且#AP=#AD，则=．引例2引例2⼒量型训练设#BP=#BE，有8:#AP=23#AB+13#AC;#AP=(1)#AB+13#AC;解得8:=34;=12:敏捷型训练如左图，过D作DF∥BE交AC于F，则EF=13EC=13AE，于是=34．1引⾔3BCADEFPBCADEPB(2)C(1)A(1)D(3)E(2)P知识型训练如中图，由梅涅劳斯定理，有APPD
DBBC
CEEA=1;于是APPD=BCDB
EACE=3:实战优化：如右图，在A;B;C上标注a;b;c，使得EC:EA=a:c;DC:DB=b:c;则APPD=b+cc
ca=b+ca:这就相当于在D点位置填b+c，即可⽤“杠杆原理”解题．证明：113‹1132‹


113n‹12．引例3引例3⼒量型训练由于lnx⩽x1，于是lnx⩾11x，因此ln113n‹⩾11113n=13n1;于是只需要证明131+1321+


+13n1ln2;⽽LHS12+18+128+13433+13534+


+13n3n112+18+128+154113ln2:敏捷型训练⽆法直接应⽤数学归纳法，考虑将命题加强为113‹1132‹


113n‹⩾12+an;1引⾔4其中an0．考虑到归纳基础，需要a1⩽16；考虑递推证明，需要12+an‹113n+1‹⩾12+an+1;即anan+1⩾13n+1
12+an‹;因此取a1=16，进⽽an=12
3n即可．知识型训练直接利⽤伯努利不等式，有LHS113+132+


+13n‹113113=12:更进⼀步(Pentagonalnumbertheorem)：(1x)(1x2)(1x3)


=1xx2+x5+x7x12x15+x22+x26=1∑k=1(1)k(1x2k+1)xk(3k+1)/2:我们知道，平⾯上到两个定点的距离之⽐为定值(0且̸=1)的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．当两个定点A和A′已知时，可以先在直线AA′上找到两点M;N，使得MAMA′=NANA′=;然后作以MN为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆．引例4引例4反过来，如果已知其中⼀个定点A，以及动点P对应的阿波罗尼斯圆，也可以确定另⼀个定点A′的位置，如图．AA′NOMP设阿波罗尼斯圆的圆⼼为O，半径为r，OA=d，OA′=d′，则有drrd′=d+rr+d′=;其中=PAPA′．容易解得=dr=rd′;1引⾔5也就是说r是d和d′的等⽐中项，且公⽐为．上述结论形式优美，容易记忆，在很多时候可以⽅便的解决问题．例1已知P点在边长为2的正⽅形ABCD的内切圆上运动，则AP+p2BP的最⼩值是．解尝试应⽤阿波罗尼斯圆处理系数．连接对⾓线AC，设其中点为O，则可知在此问题中r=1，d=p2，于是d′=p22，且=p2．ABCDOPA′因此AP+p2BP=p2
(A′P+BP)⩾p2
A′B;⽽在△OA′B中应⽤勾股定理可得A′B=√OA′2+OB2=É52;因此所求的最⼩值为p5．例2已知P在边长为2的正△ABC的内切圆上运动，则AP+2PB的最⼩值是．解与例1类似，r=p33，d=2p33，于是d′=p36，且=2．ABCOA′P因此AP+2PB=2
(A′P+BP)⩾2
A′B;⽽在△OA′B中应⽤余弦定理可得A′B=√OA′2+OB2+OA′
OB=p72;因此所求的最⼩值为p7．1引⾔6作为练习，下⾯的已知条件命题：已知点P在圆O:x2+y2=4上运动，A(4;0)，B(4;4)，求的最⼩值．OPABxy4答案是PA+2PB或2p2PA+PB．2函数72函数2.1含参⼆次函数的讨论例题2.1已知函数f(x)=8:1;x⩽1;x;1x1;1;x⩾1;函数g(x)=ax2x+1．若函数y=f(x)g(x)恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是．解(1;0)[(0;1)，参见每⽇⼀题[299]．分离参数根据题意，⽅程f(x)=ax2x+1有两根，即ax2x+1=8:1;x⩽1;x;1x1;1;x⩾1;有两根，注意到x=0不是⽅程的根，于是问题即⽅程a=8:1x2x2;x⩽1;2x1x2;1x0或0x1;1x;x⩾1有两根．作换元t=1x，则上述⽅程右边g(t)=8:t2t2;1⩽t0;2tt2;t1或t1;t;0t⩽1;⽽换元后的⽅程的根的个数与换元前的⽅程的根的个数是⼀致的．考虑函数y=g(t)与直线y=a的交点个数，如图．xyOy=a112函数8于是a的取值范围是(1;0)[(0;1)．不分离参数以第⼆段为例，分析函数h(x)=ax22x+1=0在区间(1;1)上的零点．由于h(1)=a+3，h(1)=a1，因此分界点为3;0;1．1、开⼜与端点处的函数值定讨论分界点；2、画参数讨论轴，展开讨论；3、在每⼀段上⽤对称轴配合判别式判断图象．含参⼆次函数的讨论⽅法含参⼆次函数的讨论⽅法a301x11x=1ax11x=1ax11x=1ax11x=1ax11x=1ax11x11x=1a2函数92.2参数分离例题2.2(每⽇⼀题[520])设函数f(x)=x22ax+32a的两个零点分别为x1;x2，且在区间(x1;x2)上恰好有两个正整数，求实数a的取值范围．解考虑分离变量，⽅程x22ax+32a=0即2a(x+1)=x2+3:显然x=1不是⽅程的解，于是原⽅程等价于2a+2=x+1+4x+1;于是x1;x2是函数g(x)=x+1+4x+1与直线y=2a+2的公共点的横坐标．Oy=g(x)xy14213335y=2a+2如图，可知区间(x1;x2)上的两个正整数为1;2，因此2a+2的取值范围是133;5˜，进⽽可以解得a的取值范围是76;32˜．1、不分离，考虑F(x;a)=0，通法，难点在于分类讨论；2、全分离，考虑F(x)=a，局限性在于需要处理⼀个复杂函数，可能需要使⽤洛必达法则；3、半分离，考虑F(x)=ax+b，有凹凸性的隐患，⼤题慎⽤．不等式与⽅程中的参数处理⽅案不等式与⽅程中的参数处理⽅案2函数10例题2.3(2012年⼭东卷理科第12题)设函数f(x)=1x，g(x)=ax2+bx(a;b2R且a̸=0)．若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1;y1)和B(x2;y2)，根据a的正负，讨论x1+x2和y1+y2的正负．解a0时，x1+x20，y1+y20；a0时，x1+x20，y1+y20，2012年⼭东选择压轴题．y=ax3+bx21Oxy不分离y=t3bty=aOty全分离y=x2y=ax+bOxy半分离不分离将右边化为常数(往往取0)．注意利⽤⼀侧为0的特点对左边进⾏调整．对于本题，可以将问题转化为函数h(x)=ax3+bx21有两个零点，由于h(x)的导函数h′(x)=x(3ax+2b);由h(x)有且仅有两个零点知h(x)的极值点中必有⼀个为零点，于是函数的两个极值点分别对应点(0;1)和2b3a;0‹，按a与0的关系分别画出对应的函数图象．由三次函数的切割线性质可得1结果．全分离让两边分别只含参数和变量．对于本题，考虑⽅程a=1x3bx;即h(t)=t3bt;其中t=1x，并记右侧函数为h(t)，因此画出对应的函数图象可得结果．半分离将⼀边化为含参直线，另⼀边化为不含参的函数．此时问题转化为直线与曲线的位置关系问题，因此往往对曲线的凹凸性2有要求．对于本题，考虑⽅程ax+b=1x2;于是直线y=ax+b与幂函数y=x2的图象有两个公共点．由幂函数图象的对称性可得结果．1也可以通过三次⽅程的韦达定理求解2在⾼考范围内，只有基本初等函数和⼆次曲线的凹凸性可以直接使⽤2函数112.3优雅的作图例题2.4(每⽇⼀题[450])已知函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表⽰不⼤于x的最⼤整数，当x2(0;n]，n2N时，函数f(x)的值域为集合An，则(1)若f(x)=100，且x0时，则x的取值范围是；(2)集合An中有个元素．解[10;10:1)；12n212n+2，考虑函数g(x)=x[x]，即g(x)=k
x(x