计算角的度数典型例题

计算角的度数典型例题在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°．下面我们学习如何计算角的度数．例1如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数．分析：因为∠1与130°的和是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数．解：∠1=180°-130°=50°∠2=90°-∠1=90°-50°=40°∠3=180°-∠2=180°-40°=140°例2如图6—2，已知∠C=25°，AD=DB=BC，求∠ADE的度数.分析：要求∠ADE的度数，只须求∠ADC的度数，因为BD=BC，所以∠BDC=∠C，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠DBC的度数，由于∠DBC与∠ABD的和是180°，所以∠ABD的度数可以求出，又因为AD=DB，所以∠BAD=∠ABD，再利用三角形内角和等于180°，得到∠ADB的度数，最终求出∠ADE的度数．解：因为DB=BC所以∠BDC=∠C=25°在△BDC中，∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-25°-25°=130°又因为∠ABD+∠DBC=180°所以∠ABD=180°-∠DBC=180°-130°=50°因为AD=DB所以∠DAB=∠ABD=50°在△ADB中∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-50°-50°=80°所以∠ADC=ADB+∠BDC=80°+25°=105°∠ADE=180°-∠ADC=180°-105°=75°说明：∠ADE=∠DAB+∠C，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ADE与∠ADC的和是180°，∠ADC与∠C及∠DAB的和也是180°，所以∠ADE等于∠C+∠DAB．∠ADE叫做△ADC的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠DAC、∠ABE、∠ACF都分别叫三角形ABC的外角，而∠DAC=∠ABC+∠ACB∠ABE=∠BAC+∠ACB∠ACF=∠ABC+∠CAB例3如图6—4，已知：∠ACB=3∠A=6∠B，DE⊥AB，求∠D的度数．分析：在△ABC中，由∠A、∠B、∠ACB的关系及它们的和等于180°，可以得出∠B的度数，在直角三形DEB中，∠D与∠B的和是90°，可以得出∠D的度数．解：在△ABC中∠A+∠B+∠ACB=180°因为3∠A=6∠B，所以∠A=2∠B，又∠ACB=6∠B，所以2∠B+∠B+6∠B=180°9∠B=180°∠B=20°在直角三角形DEB中，因为∠D+∠B=90°所以∠D=90°-∠B=90°-20°=70°．例4同样大小的12个正方形，如图6—5那样排列起来，∠ABC是多少度？分析：要求∠ABC的度数，似乎无从下手，但仔细观察图形特点，如果将直线AB经过的三个小正方形绕点A逆时针旋转90°，如图6—6，点D移到点E，AB与AC重合，得到△ABC是直角三角形，并且AB=AC，这样容易求出∠ABC的度数．解：将直线AB经过的三个小正方形绕点A逆时针旋转90°，则△ABD与△ACE重合，即△ABC是直角三角形，且AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°．例5将正方形ABCD对半折叠后，折线为EF，如图6—7，将B点利用折线移到EF上，折线为CP，求∠1、∠2的度数．分析：以CP为折线折叠后点B移到点M，如图6—8，以EF为折线折叠后，点B与C重合，所以MB=MC，又因为以CP为折线折叠后，点B与M重合，所以BC=MC，∠1=∠3，于是由MB=MC=BC知，△MBC是等边三角形，所以∠1+∠3=60°，可以求出∠1的度数．而在△ABM中，由于MB=BC知，MB=AB，所以△ABM是等腰三角形，由∠MBC的度数可以求出∠ABM的度数，这样便可以求出∠BAM的度数，最终可以求出∠2的度数．解：因为以EF为折线折叠后，B与C重合，所以MB=MC，以CP为折线折叠后，B与M重合，所以BC=MC，∠1=∠3，由MB=MC=BC知，△MBC是等边三角形，所以2∠1=60°，即∠1=30°．在△ABM中，因为MB=AB，所以，△ABM是等腰三角形，所以∠ABM=90°-∠MBC=90°-60°=30°∠BAM=（180°-30°）÷2=75°∠2=90°-∠BAM=90°-75°=15°．例6如图6—9，已知△ABC是等边三角形，D是AC中点，E是状．分析：由于△ABC是等边三角形，所以∠3=60°，如果能设法求出∠2的度数，就可以求出∠E的度数．解：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°．因为D是AC中点，AB=BC，所以以BD为折线折叠的话，必然A与C重合，因由于∠3=∠2+∠E由∠1=∠E知DB=DE，所以△DBE是等腰三角形．