概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案解析

范文范例指导参考学习资料整理【经典例题】【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．1-2πB．12-1πC．2πD．1π【答案】A【解析】令OA=1，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为S1，围成OC为S2，作对称轴OD，则过C点．S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，S2=π2(12)2-12×12×12=π-28．在扇形OAD中S12为扇形面积减去三角形OAC面积和S22，S12=18π×12-18-S22=π-216，S1+S2=π-24，扇形OAB面积S=π4，选A．【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75【答案】B【解析】X的取值为0，1，2，3且P(X＝0)＝27125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意0≤x≤4，0≤y≤4，满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.范文范例指导参考学习资料整理根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34.【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．【答案】13【解析】当x－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P＝3－13－（－3）＝13.【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】213；1213；3月5日【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝113，且Ai∩Aj＝(i≠j)．（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.范文范例指导参考学习资料整理（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513.所以X的分布列为X012P513413413故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B2，23，X2～B2，25，所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．范文范例指导参考学习资料整理方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝1－23×1－25＝15，P(X＝2)＝23×1－25＝25，P(X＝3)＝1－23×25＝215，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024P194949所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例9】（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.【答案】3∶2∶1【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518.P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136，所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136X2036P9251225425范文范例指导参考学习资料整理（2）由题意知η的分布列为η123Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c所以Eη＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，Dη＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59，化简得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0，解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【答案】427；38【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（2）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4），∴441220,1,2,3,433kkkPkCk，∴即的分布列是02468P16813281827881181∴的期望是163288180246881812781813E.范文范例指导参考学习资料整理【课堂练习】1.（2013广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.52D．32.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是()A．1－π4B．π2－1B．2－π2D．π43．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为()A．47B．37C．27D．3144．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A．175B．275C．375D．4755.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A．3181B．3381C．4881D．5081.6.（2009辽宁文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为A．4B．14C．8D．187.（2009上海理）若事件E与F相互独立，且14PEPF，则PEFI的值等于ABCDEF范文范例指导参考学习资料整理A．0B．116C．14D．128．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()A．12B．1532C．1732D．31329．已知数列{an}满足an＝an－1＋n－1(n≥2，n∈N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a，b，c，则满足集合{a，b，c}＝