平方差与完全平方专题(含问题详解)

实用文档乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知2ba，1ab，求22ba的值。实用文档解：∵2)(ba222baba∴22ba=abba2)(2∵2ba，1ab∴22ba=21222例2．已知8ba，2ab，求2)(ba的值。解：∵2)(ba222baba2)(ba222baba∴2)(ba2)(baab4∴2)(baab4=2)(ba∵8ba，2ab∴2)(ba562482例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096实用文档=161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032100321002210033210000600910609（2）1982200222002220022240000800439204例8．计算（1）a4b3ca4b3c（2）3xy23xy2解：（1）原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2（2）原式3xy23xy29x2y24y49x2y24y4例9．解下列各式（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。（3）已知aa1a2b2，求222abab的值。（4）已知13xx，求441xx的值。分析：在公式ab2a2b22ab中，如果把ab，a2b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）∵a2b213，ab6ab2a2b22ab132625ab2a2b22ab13261（2）∵ab27，ab24a22abb27①a22abb24②①②得2a2b211，即22112ab①②得4ab3，即34ab（3）由aa1a2b2得ab2实用文档22221222abababab22112222ab（4）由13xx，得19xx即22129xx22111xx221121xx即4412121xx441119xx例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1234125522345112111234561361192……得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，n1，n2，n3是四个连续自然数则nn1n2n31nn3n1n21n23n22n23n1n23nn23n21n23n12∵n是整数，n2，3n都是整数n23n1一定是整数n23n1是一个平方数四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。例11．计算（1）x2x12（2）3mnp2解：（1）x2x12x22x2122x2x2x212x1x4x212x32x22xx42x33x22x1（2）3mnp23m2n2p223mn23mp2np9m2n2p26mn6mp2np分析：两数和的平方的推广abc2abc2ab22abcc2a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac即abc2a2b2c22ab2bc2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。实用文档例1.计算：53532222xyxy解：原式53259222244xyxy(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2.计算：111124aaaa解：原式111224aaa111448aaa例3.计算：32513251xyzxyz解：原式25312531yzxyzx25314925206122222yzxyxzyzx三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例4.计算：57857822abcabc解：原式578578578578abcabcabcabc101416140160abcabac四、变用:题目变形后运用公式解题。例5.计算：xyzxyz26解：原式xyzzxyzz2424xyzzxyzxyxzyz241224422222五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：实用文档12223244222222222222....abababababababababababab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.已知abab45，，求ab22的值。解：ababab2222242526例7.计算：abcdbcda22解：原式bcadbcad222222244222222bcadabcdbcad例8.已知实数x、y、z满足xyzxyy592，，那么xyz23（）解：由两个完全平方公式得：ababab1422从而zxyy222145925414529696932222yyyyyyy∴∴，∴∴zyzyxxyz22300322322308实用文档三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．例2计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）实用文档=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似