1.3.3-平均值不等式(第1课时)-课件-(北师大版选修4-5)-(1)

菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5§3平均值不等式第1课时平均值不等式课标解读1.了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值．2．掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．定理1：对任意实数a，b，有a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”号)．2．定理2：对任意两个正数a，b，有a＋b2ab(当且仅当时取“＝”号)．语言叙述为：两个正数的算术平均值它们的几何平均值．3．定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．≥a＝b≥a＝b不小于≥菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5语言叙述为：三个正数的平均值不小于它们的平均值．算术几何菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．不等式“x＋1x≥2”是否正确？为什么？【提示】不正确．当x＜0时，x＋1x≤－2；当x＞0时，有x＋1x≥2.2．当a，b，c不全为正数时，不等式a＋b＋c3≥3abc是否一定成立？【提示】不一定成立．如a＝1，b＝c＝－1时，a＋b＋c3＝－13，但3abc＝1，有a＋b＋c3＜3abc.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5平均值不等式的条件判定命题：①任意x＞0，lgx＋1lgx≥2；②任意x∈R，ax＋1ax≥2(a0且a≠1)；③任意x∈(0，π2)，tanx＋1tanx≥2；④任意x∈R，sinx＋1sinx≥2.其中真命题有()A．③B．③④C．②③D．①②③④菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【自主解答】在①、④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能确定lgx＞0与sinx＞0，因此①、④是假命题．在②中，ax＞0，ax＋1ax≥2ax·1ax＝2，当且仅当x＝0时取等号，故②是真命题．在③中，当x∈(0，π2)时，tanx＞0，有tanx＋1tanx≥2，且x＝π4时取等号，故③是真命题．【答案】C菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a＝b”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a＋b2≥ab是a2＋b2≥2ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是a＋b2≥ab的充分不必要条件；a，b为实数是a2＋b2≥2ab的充要条件．2．当b≥a0时，有变形不等式a≤2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22≤b.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5设a，b为实数，且ab＞0，下列不等式中一定成立的个数是()①ba＋ab≥2②a＋b≥2ab③1a2＋1b2≥2ab④b2a＋a2b≥a＋bA．1B．2C．3D．4菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【解析】∵ab＞0，∴ab＋ba≥2ab·ba＝2，①成立；a，b＜0时，②不成立；1a2＋1b2≥2ab，③成立；当a＝－1，b＝－2时，④不成立．因此，①③成立．【答案】B菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.【思路探究】1＝a＋b＋c代换→基本不等式→结论．证明简单的不等式菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【自主解答】1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．所以1a＋1b＋1c≥9.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．适当变形“凑配”为使用平均值不等式创造条件．2．当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号，三个等号必须同时成立．3．注意“1”的代换，即把1＝a＋b＋c代入．4.a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc恰当的“拆”“配”项3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)，这一步为使用基本不等式创造了条件．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5设a，b，c为正数，求证：(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥27.【思路探究】根据待证式子的结构，连续使用平均值不等式证明．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【自主解答】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b＋c≥33abc＞0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c2＞0，又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c2＞0，∴(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．故原不等式成立．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，c0.2．若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【证明】因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，当a＝b＝c时取等号．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，当abc＝3abc取等号．两次取等号的条件可以同时成立．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5平均值不等式的变式及简单应用已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：(1)a＋b2≤a2＋b22；(2)a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．【思路探究】(1)式两端均是“和”，不能直接利用重要不等式，解决的关键是对a2＋b22的处理，先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是“和”式，可利用(1)题的结论．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【自主解答】(1)∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2＋b22≥a＋b24.又a＞0，b＞0，∴a＋b2≤a2＋b22.(2)由(1)得a2＋b2≥22(a＋b)．同理：b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(a＋c)．三式相加得：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．第(2)问利用了第(1)问的结论a＋b2≤a2＋b22，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明．2．一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式a2＋b2≥2ab的形式可以是a2≥2ab－b2，也可以是ab≤a2＋b22，还可以是a＋b2a≥2b(a＞0)，b2a≥2b－a等．解题时不仅要会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用．菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5若a与b大于0，且a＋b＝1，求证：(a＋1a)(b＋1b)≥254.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5【证明】∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，因此0＜ab≤14.又(a＋1a)(b＋1b)＝ab＋1ab＋ba＋ab.∵ba＋ab≥2ba·ab＝2(当a＝b时取等号)，ab＋1ab≥14＋4＝174(当ab＝14时取等号)，∴(a＋1a)(b＋1b)≥2＋174＝254.菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-51．“a＞0且b＞0”是“a＋b≥2ab”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-52．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥33xyz，∴xyz≤8，∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】B菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-53．设a＞b＞0，把a＋b2，ab，a，b按从大到小的顺序排列是________．【解析】∵a＞b＞0，∴a＞a＋b2＞ab＞b.【答案】a＞a＋b2＞ab＞b菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-54．不等式ba＋ab＞2成立的充要条件是________．【解析】由ba＋ab＞2，知ba＞0，即ab＞0.又由题意知，ba≠ab，∴a≠b.因此，ba＋ab＞2的充要条件是ab＞0且a≠b.【答案】ab＞0且a≠b菜单课时作业课前自主导学当堂双基达标课堂互动探究BS·数学选修4-5课时作业（四）