线面、面面平行、线面、面面垂直(学生)

1立体几何空间点、线、面的位置关系1．五种位置关系，用相应的数学符号表示（1）点与线的位置关系：点A在直线l上；点B不在直线l上（2）点与面的位置关系：点A在平面内；点B在平面外（3）直线与直线的位置关系：a与b平行；a与b相交于点O（4）直线与平面的位置关系：直线a在平面内；直线a与平面相交于点A；直线a与平面平行（5）平面与平面的位置关系：平面与平面平行平面与平面相交于a平行问题（一）直线与直线平行1.定义：在同一平面内不相交的两条直线平行2.判定两条直线平行的方法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行（公理4），记为a//b,b//ca//c（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。记为：//,,//aabab．（3）两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行（二）直线与平面平行1.定义：直线a与平面没有公共点，称直线a平行与平面，记为a//2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。定理模式：．////ababa3、找线线平行常用的方法：①中位线定理②平行四边形③比例关系④面面平行-线面平行2①中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，6BC，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（１）求证：GH∥平面CDE；（２）若2,42CDDB，求四棱锥F-ABCD的体积．又例：《高考零距离》P124例1练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。求证：AC1∥平面CDB1；2.如图，1111DCBAABCD是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：//1BD平面DEC1；（2）求三棱锥BCDD1的体积.EA1B1C1D1DCBA_H_G_D_A_B_CEF3GPABCDFEEBCDAP3、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，4,3PDDC，E是PC的中点。（1）证明：//PABDE平面；（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。4、《高考零距离》P125。1②平行四边形例2、如图,在矩形ABCD中,2ABBC,,PQ分别为线段,ABCD的中点,EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点。求证：AF∥平面PCE；4ABCDEF②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，ABCD平面PD，M，N分别是AB，PC中点。求证：//PADMN平面PABCDMN③如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE；④、已知正方体ABCD-1111DCBA，O是底ABCD对角线的交点.求证：//1OC面11ABD．③比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且NCBNPMBM,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)D1ODBAC1B1A1C5ABCDEF练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，//EFAB，=4,=2,=1ABAEEF.（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足14CMCA,求证：//EM平面FBC；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平行）练习：1、如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：；EFGPA面//；（2）求三棱锥PEFG的体积．DACBEFM6EBACNDFM1A1C1BEFGACB2、如图,在直三棱柱111ABCABC中,090ACB，,,EFG分别是11,,AAACBB的中点，且1CGCG.(Ⅰ)求证：//CGBEF平面；3、如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,//,22ADCDABCDCDABAD.在EC上找一点M,使得//BM平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，,CBCDECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠120BCD，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.7练习：1、在空间中，下列四个命题：①两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确命题的个数（）A、3B、2C、1D、02、一条直线l上有相异三个点Ａ、Ｂ、Ｃ、到平面的距离相等，那么直线l与平面的关系是（）A、l//B、lC、l与相交但不垂直D、l//或l3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。定理模式：//,,//aabab．例题：如图，已知四棱锥ABCDP。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：FGAP//。证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。8练习：1、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：//ADMN；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：EF∥A1D1；3.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.（1）求证：平面AEC平面ABE；(面面垂直性质)（2）点F在BE上，若DE//平面ACF，求BEBF的值。（线面平行的性质21）DABCPMN9（三）.两个平面的位置关系有两种：相交（有一条交线）、平行（没有公共点）1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：//////ababPab2.垂直于同一直线的两个平面互相平行例、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.练习：如图所示，在正方体ABCD-1111DCBA中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H.103.两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。baab////例题：已知在正方体ABCD-1111DCBA中，E,F分别是1111ADDC和上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC，求证：ABCD//平面EFABCDA1B1C1D111ACBPMFEABCDG空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。三、线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。四、证线线垂直的方法：①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）①菱形的对角线互相垂直：例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。求证：EF⊥平面GMC．练习：如图ABCD-1111DCBA是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD平面AACC1（2）1ACBDABCDABCD12ACBDP②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：ADBC③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111DCBAABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱21AA，E是侧棱1BB的中点。求证：AE平面11ADE；证明：1111DCBAABCD为长方体，D1C1B1A1EDCBAPACBHO13练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，2,1,PDPACDPA,求证：（1）PA平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积.⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，ABCDPDADAB底面,2，证明：BDPA;练习1：如图，在直三棱柱111ABCABC中，AC=3，BC=4，AB=5，14AA，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：1ACBC；练习2：如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：BEAE；证明：因为ABEBC平面，ABEAE平面，BCDPAABCDEFa2aBDCAp14《高考零距离》P125例题P1262P1273五、面面垂直(1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.例题：《高考零距离》P1271、2练习1：如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB2、如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC.153、如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于K，连结DK，求证（1）平面SBC⊥平面KBD（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；例2：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于