参数方程应用总结

1参数方程应用专题1、圆的参数方程的应用圆222()()xaybR的参数方程为cossinxaRybR（为参数）一、求最值yxP,为圆上一点（1）求22CyBxyAx的最值（2）求ByAx的最值（3）A,B为定点，求22PBPA的最值。例1已知点P（x，y）在圆221xy上，（1）求2223xxyy的最大值和最小值。（2）求yx2的最值(3)22220,24,10,121PDPCPBPADCBA求及和和，点的最值。练习1、已知实数yx,满足252122yx，求yxyx2,22的最值。2、在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,34coscosabBA，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。2二、求轨迹例2在圆224xy上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，∠BAC=3，求△ABC的重心G（x，y）的轨迹方程。三、求范围例3已知点P（x，y）是圆22(1)1xy上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。四、求斜率例4求函数sin1()cos2f的最大值和最小值。CxyOAB图1Oxy(2,1)图232、椭圆的参数方程的应用22221xyab的参数方程为cossinxayb（为参数）一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1求椭圆)0ba(1byax2222的内接矩形的面积及周长的最大值。二、求轨迹例2已知点A在椭圆136y144x22上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且21MBAM，试求动点M的轨迹方程。三、求最值P(X,Y)为椭圆上一点（1）求22CyBxyAx的最值（2）求ByAx的最值（3）P),(yx为椭圆上一点，A,B为定点，求22PBPA的最值。点的坐标。距离最值，和圆上与为椭圆外一定点，求椭AAA4(5)的距离的最值。求椭圆上的点到直线已知直线lCByAxl,0:4例3设点P（x，y）在椭圆19y16x22，（1）试求点P到直线05yx的距离d的最大值和最小值。（2）已知），（86A，求PA的最值。（3）求yx32的最值。（4）已知2,12,12,12,1DCBA求2222PDPCPBPA的最值。3、已知椭圆22110064xy有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。221(,)23122Pxyxyxy例、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。221942100xyMMxy例2、在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离54.动点P(x,y)在曲线22y194x上变化，求2x+3y的最大值和最小值5设是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值是。Pxyxy23122226，xyP2294110上一点与定点（，）之间距离的最小值7，设直线022:yxl，交椭圆149:22yxC于A、B两点，在椭圆C上找一点P，使ABP面积最大。3,直线的参数方程6过定点),(000yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx（t为参数）（1）的几何意义是直线上点M到M0的距离。（2）若t=0,则点与点M重合.由此，易得参数t具有如下的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为BAtt,，则性质一：A、B两点之间的距离为||||BAttAB，特别地，A、B两点到0M的距离分别为.|||,|BAtt性质二：A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若0M是线段AB的中点，则0BAtt，反之亦然。一求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.二求直线与曲线相交的弦长7例2过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.例3已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.三、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.点评:在直线的参数方程中,当t0,则的方向向上;当t0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例2．经过点P(−1，2)，倾斜角为4的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB8和PA·PB的值。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。练习一、1已知：直线l过点)0,2(P，斜率为34，直线l和抛物线xy22相交于BA,两点，设线段AB的中点为M，求（1）MP,两点间的距离。（2）M点的坐标。（3）线段AB的长AB。2.直线（为参数）被双曲线上截得的弦长为。xtyttxy231223.直线xtyttxyAB11233321622（为参数）与圆交于、两点，则AB的中点坐标为__________。4.(1)写出经过点)5,1(0M，倾斜角是3/的直线l的参数方程；(2)利用这个参数方程，求这条直线l与直线032yx的交点到点M0的距离。(3)求这条直线l和圆1622yx的两个交点到点M0的距离的和与积。5求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆1422yx所得的弦长。6.已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是xy21．过点4,0P作斜率为14的9直线l，使得l和G交于,AB两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC．求双曲线G的方程；7.已知ll,l2是过点P(20,)的两条互相垂直的直线,且ll,l2与双曲线y2x2=1各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2.若|A1B1|5|A2B2|,求ll,l2的方程.8.已知直线l过点2,3P,且与x轴y轴的正半轴分别交于A,B两点,求PBPA的值为最小值时的直线l的方程.9.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值参数22622横坐标2212320纵坐标2562357根据数据,可知直线的参数方程为,直线被圆85222yx截得的弦长为练习二、10的最大值为则满足、实数并求出最小距离。的距离最小，到直线使上求一点在椭圆课本原题、的取值范围。恒成立，求的取值范围。求上的动点是、设的最值。的距离到直线点的最值。的最值。上的一点，求是圆、已知的最小值。的最大值。，求满足、如果实数yxyxyxyxMMyxccyxyxyyxyxPdyxPyxyxyxyxyxPxyyxxyxyx32,1243,50102,149402212,30132101246,221014,122222222222211的最值。上任意一点，求为圆上任意一点，为椭圆、的坐标。并求此时点？的距离的最大值是多少到直线上，则在椭圆、点距离的最小值上的点到直线、求椭圆最值求满足、已知实数AByxByxAMyxMyxyxMyxyxyxzyxyx1119259041412,8.04214972,11625,6222222222212练习三轨迹问题轨迹方程。的中点上运动，求线段在圆端点的端点、线段什么曲线。轨迹方程，并指出它是点的变化时，求的中点，当为的垂线，垂足为作过坐标原点的交点坐标。、时，求当为参数，圆为参数直线、，求、异于极点的交点分别为、与射线的方程求点的轨迹为足点满上的动点，是，为参数的参数方程为曲线、的轨迹方程。作匀速圆周运动时，求绕的中点，当是轴上的动点，是，是圆上的动点，，的半径为课本原题、的轨迹方程。的重心求在该椭圆上运动，点的右顶点和上顶点，动分别为椭圆、、的轨迹是否经过原点。的函数，并判断点表示为到坐标原点的距离将的轨迹方程。求中点为，，上，对应参数分别为为参数都在曲线、已知、MAByxABABPOAPACOCCyxCttytxCABBACCCCPOMOPPCMyxCMOPPQMxQGABCCyxBAMdMMPQMyxCQP41,3,46,231sincos:sincos1:20105.32.1,,2sin22cos22011406P2o⊙31936221.202sin2cos220131221212121221122