2011年高三苏教版数学二轮复习课件14推理与证明复数与算法初步

专题7推理与证明、复数与算法初步知识网络构建专题7│知识网络构建专题7│知识网络构建考情分析预测专题7│考情分析预测1．三年高考回顾年份内容题号与分值2008复数的运算第3题5分；流程图第7题5分；类比推理第9题5分；推理第10题5分；推理与证明第23题10分．2009复数的运算第1题5分；流程图第7题5分；类比推理第8题5分．2010复数运算第2题5分；流程图第7题5分；推理与证明第23题10分.专题7│考情分析预测2.命题特点探究江苏高考复数试题一般放在试卷的前三题，处于“送分”的位置，一般考查复数的运算或几何意义；算法试题在江苏高考中内容与题型稳定，三年均考查流程图的理解；推理证明是新课改新增加的内容，受到命题者的青睐，三年均有考查，填空题以中档题为主，主要考查合情推理，解答题出现在附加题中，难度较大．3．命题趋势预测预计2011年江苏对复数的考查仍然会出简单计算题，考查几何意义或复杂运算的可能性不大；算法会和其他知识交汇，出一道中档难度的填空题．专题7│考情分析预测高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握．在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的可能性较大．第14讲│复数与算法第14讲复数与算法主干知识整合第14讲│主干知识整合1．复数的三种形式(1)代数式a＋bi(a、b∈R)；(2)点的形式Z(a，b)；(3)向量表示OZ→(O为原点)．2．复数的运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a＋bi)·(c＋di)＝(ac＋bd)＋(bc＋ad)ia＋bic＋di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2zmzn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1z2)m＝zm1zm2(m，n∈Z)．第14讲│主干知识整合3．i运算的周期性i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.即：若n被4除余1，则in＝i1；若n被4除余2，则in＝－1；若n被4除余3，则in＝i3；若n被4整除，则in＝1.例如：i101＝i1，i98＝－1，i999＝i3，i2000＝i4.4．共轭复数设z＝a＋bi，则其共轭复数z＝a－bi(a，b∈R)，从而zz＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2，即：互为共轭复数的两个复数的积，等于其中一个复数的模的平方．第14讲│主干知识整合z·z＝|z|2是除了复数相等以外进行实虚转化的另一重要桥梁．逆用该等式，可以对形如a2＋b2的因式进行因式分解(a，b∈R)．即a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，例如x2＋2＝(x＋2i)(x－2i)，这样，在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解．5．复数的几何意义①复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b)；②复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi对应平面向量OZ→.第14讲│主干知识整合③复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．6．算法的特征算法就是解决问题的方法、步骤，而确定算法就是找到一个合适的、能在计算机上实现的解题方法与步骤，它应是一个规则的序列，因此，它具有以下五个重要的特征：①有穷性；②确定性；③有输入；④有输出；⑤可行性．第14讲│主干知识整合7．两种重要的结构(1)条件结构如图7－14－1中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框(A框、B框)．无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行．A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作．第14讲│主干知识整合(2)循环结构在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构．即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程．重复执行的处理步骤称为循环体．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构．①当型循环结构，如图7－14－2所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图．第14讲│主干知识整合②直到型循环结构，如图7－14－2所示，它的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立．如此重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图．要点热点探究第14讲│要点热点探究►探究点一流程图及其简单运用例1下面的程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．如果输入1000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为________．(保留四位有效数字)第14讲│要点热点探究第14讲│要点热点探究【答案】3.152【解析】根据程序框图的运行可知，在区间(－1,1)内的1000个数中满足两数平方和小于或等于1的有788个．换句话说：在满足－1x1，－1y1的1000个数中，又满足x2＋y2≤1的数共有788个，由几何概型可知π4＝7881000，于是π＝3.152.第14讲│要点热点探究【点评】一个数学问题往往不是孤立的，都是与其他知识联系在一起的，为此要求我们求解时，理清相互联系的知识网，结合基本技能共同出击，促使问题获解．本题设计十分巧妙，将几何概型的概率与近似计算恰到好处地融为一体，通过程序框图展现在考生面前．可以说它是一道“小”综合题，有一个知识点不过关，也不可能产生正确结论．因此，面对此题我们首先要认准本题的基本联系(即与哪些知识结合？求解时，将要用到哪些内容？)，然后，将这些知识结合起来共同完成求解．执行如图7－14－4的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是________．【答案】15第14讲│要点热点探究【解析】当n＝1时，此时S＝0；当n＝2时，此时S＝0＋1；当n＝3时，此时S＝0＋1＋2＝3；当n＝4时，此时S＝0＋1＋2＋22＝7；当n＝5时，此时S＝0＋1＋2＋22＋23＝15，此时只要p的值为15即可使得判断框取“否”，从而输出n的值为5.处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将n＝n＋1与S＝S＋2n－1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．第14讲│要点热点探究第14讲│要点热点探究►探究点二复数有关问题例2对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，定义g(z)＝3x(cosy＋isiny)．(1)若g(z)＝3，求相应的复数z；(2)若z＝a＋bi(a，b∈R)中的a为常数，则令g(z)＝f(b)，对任意b，是否一定有常数m(m≠0)使得f(b＋m)＝f(b)？这样的m是否唯一？说明理由．(3)计算g2＋π4i，g－1＋π4i，g1＋π2i，由此发现一个一般的等式，并证明之．第14讲│要点热点探究【解答】(1)由3xcosy＝3，3xsiny＝0，得cosy＝1，3x＝3，则x＝1，y＝2kπ，k∈Z.故z＝1＋2kπi，k∈Z.(2)由f(b＋m)＝f(b)，得3acosb＋m＝3acosb，3asinb＋m＝3asinb，即cosb＋m＝cosb，sinb＋m＝sinb，∴m＝2kπ，k∈Z，所以m是不唯一的．第14讲│要点热点探究(3)g2＋π4i＝922＋22i，g－1＋π4i＝1322＋22i，g1＋π2i＝3i；∴g2＋π4ig－1＋π4i＝g1＋π2i.一般地，对任意复数z1、z2，有g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)．证明：设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1,2，y1,2∈R)．g(z1)＝3x1(cosy1＋isiny1)，g(z2)＝3x2(cosy2＋isiny2)，g(z1＋z2)＝3x1＋x2[cos(y1＋y2)＋isin(y1＋y2)]，∴g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)．第14讲│要点热点探究【点评】对于第(1)(2)问都是利用复数相等解决．复数相等是化“虚”为“实”的最重要方法，第(3)问是以复数为载体考查了简单的归纳推理，情境新，做法易．第14讲│要点热点探究已知a，b，c，d∈R，对于复数z＝a＋bi，有z(4－i)是纯虚数，(z＋2)(1－4i)是实数，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0处有极值－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在整数m，使得方程f(x)＝0在区间(m，m＋1)内有且仅有一个实数根．若存在，求出所有m的值，若不存在，请说明理由．第14讲│要点热点探究【解答】(1)∵z(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i∈{纯虚数}，(z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i∈R，且a，b∈R，∴4a＋b＝0，－a＋4b≠0，4a－b＋8＝0，解得a＝－1，b＝4.又∵f(x)在x＝0处有极值－2，∴f′(0)＝0，f(0)＝－2，得到c＝0，d＝－2，∴f(x)＝－x3＋4x2－2，则f′(x)＝－3x2＋8x＝－3xx－83，第14讲│要点热点探究f′(x)0⇔0x83，f′(x)0⇔x0或x83，∴f(x)的单调递增区间是0，83，单调递减区间是(－∞，0)和83，＋∞.(2)由(1)知：当x＝0时，f(x)有极小值－20；当x＝83时，f(x)有极大值＝202270，而当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞.则方程f(x)＝0在f(x)的三个单调区间(－∞，0)，0，83，83，＋∞上必各有且仅有一个根．第14讲│要点热点探究∵f(1)＝10，f(0)0，∴方程f(x)＝0在(0,1)上有且仅有一个实数根．同理可得方程f(x)＝0在(3,4)，(－1,0)上有且仅有一个实数根．则m的值为0,3和－1.第14讲│规律技巧提炼规律技巧提炼1．复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.它是将复数问题转化为实数问题的重要依据．特别地，当z1＝0时，a＝0且b＝0.一般在复数方程中，若同时出现z、|z|或者z，求z时，一般可设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的关系或给定的条件，列出a、b的关系式，从而求出a、b，这种解法在复数的运算中具有通用性．第14讲│规律技巧提炼2．复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算．多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(a＋bi)＋(a－bi)＝2a(a，b∈R)；(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；(a－bi)2＝a2－b2－2abi(a，b∈R)等．3．重视复数与实数运算的区别实数集扩充成为复数集后，数的性质发生了一些变化．部分