导数研究函数零点问题

1利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数()e,xfxxR.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线2112yxx有唯一公共点.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数xxgln)(,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'k.过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线1212xxy有唯一公共点,过程如下.则令,,121121)()(22Rxxxexxxfxhx0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('hhhexhxhxexhxx，，且的导数因此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0xhyxhxxhyxhx0)(,0)0(')('xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以所以,曲线y=f(x)与曲线1212xxy只有唯一公共点(0,1).(证毕)2、已知函数()1xafxxe(aR,e为自然对数的底数).(1)求函数()fx的极值;(2)当1a的值时,若直线:1lykx与曲线()yfx没有公共点,求k的最大值.(1)1xafxe,①当0a时,0fx,fx为,上的增函数,所以函数fx无极值.②当0a时,令0fx,得xea,lnxa.,lnxa,0fx;ln,xa,0fx.所以fx在,lna上单调递减,在ln,a上单调递增,故fx在lnxa处取得极小值,且极小值为lnlnfaa,无极大值.2综上,当0a时,函数fx无极小值;当0a,fx在lnxa处取得极小值lna,无极大值.(2)当1a时,11xfxxe.直线l:1ykx与曲线yfx没有公共点,等价于关于x的方程111xkxxe在R上没有实数解,即关于x的方程:11xkxe(*)在R上没有实数解.①当1k时,方程(*)可化为10xe,在R上没有实数解.②当1k时,方程(*)化为11xxek.令xgxxe,则有1xgxxe.令0gx,得1x,当x变化时,gx的变化情况如下表:x,111,gx0gx1e当1x时,min1gxe,同时当x趋于时,gx趋于,从而gx的取值范围为1,e.所以当11,1ke时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是1,1e.综上,得k的最大值为1.3、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．解：（1）由题意xkxxf)1()(2∵)(xf在区间),2(上为增函数，3∴0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立即xk1恒成立，又2x，∴21k，故1k∴k的取值范围为1k（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，)1)(()1()(2xkxkxkxxh令0)(xh得kx或1x由（1）知1k，①当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在R上递增，显然不合题意…②当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(kk)1,(k1),1()(xh0—0)(xh↗极大值312623kk↘极小值21k↗由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk∴02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k4、已知函数ln()xfxeaa为常数是实数集R上的奇函数，函数singxfxx是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a的值；(II)若21gxtt在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．(Ⅲ)讨论关于x的方程2ln2()xxexmfx的根的个数。解：（I）)ln()(aexfx是奇函数，则(0)0f恒成立.0ln()0.ea01,0.eaa（II）又)(xg在[－1，1]上单调递减，,1sin)1()(maxgxg,11sin2tt只需.)1(011sin)1(2恒成立其中tt令),1(11sin)1()(2tth则,011sin1012ttt,01sin01sin122恒成立而ttttt1t.（III）由（I）知,2ln,)(2mexxxxxxf方程为令mexxxfxxxf2)(,ln)(221，21ln1)(xxxf，4当],0()(,0)(,),0(11exfxfex在时上为增函数；),0[)(,0)(,),[11exfxfex在时上为减函数，当ex时，.1)()(1max1eefxf而222)()(emexxf，)(1xf函数、)(2xf在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当eemeem1,122即时，方程无解.②当eemeem1,122即时，方程有一个根.③当eemeem1,122即时，方程有两个根.5、.已知函数3()sin(),2fxaxxaR且在,0,2上的最大值为32，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。（I）33()sin22fxaxx在]2,0[上恒成立，且能取到等号()sin2gxxxa在]2,0[上恒成立，且能取到等号max()2gxa()sincos0()gxxxxygx在]2,0[上单调递增()1222gaa3()sin2fxxx（II）3()sin()()sincos2fxxxhxfxxxx①当x]2,0[时，()0()fxyfx在(0,]2上单调递增33(0)()0()222ffyfx在(0,]2上有唯一零点②当x[,]2时，()2cossin0()hxxxxfx当x[,]2上单调递减2()()022ff存在唯一0(,)2x使0()0fx00()0,()02fxxxfxxx得：()fx在0[,)2x上单调递增，0(,]x上单调递减53()0,()022ff得：x0[,]2x时，()0fx，x0[,]x时，0()()0fxf，()yfx在0[,]x上有唯一零点由①②得：函数)(xf在),0(内有两个零点。6、已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极小值－4，使其导数'()0fx的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()fx的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围．解：（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)fxaxbxcaxxa∴在(,1)上'()0fx；在(1,3)上'()0fx；在(3,)上'()0fx因此()fx在01x处取得极小值4∴4abc①，'(1)320fabc②，'(3)2760fabc③由①②③联立得：169abc，∴32()69fxxxx（2）设切点Q(,())tft，,()()()yftftxt232(3129)()(69)yttxtttt222(3129)(3129)(69)ttxtttttt22(3129)(26)ttxttt过(1,)m232(3129)(1)26mtttt32()221290gttttm令22'()66126(2)0gttttt，求得：1,2tt，方程()0gt有三个根。需：(1)0(2)0gg23129016122490mm1611mm故：1116m；因此所求实数m的范围为：(11,16)7、已知32()4fxxaxx（a为常数）在2x时取得一个极值，（1）确定实数t的取值范围，使函数()fx在区间[,2]t上是单调函数；（2）若经过点A（2，c）（8c）可作曲线()yfx的三条切线，求c的取值范围．解：（1）∵函数()fx在2x时取得一个极值，且2()324fxxax，(2)12440fa，2a2()344(32)(2)fxxxxx．23x或2x时，2()0,3fxx或2x时，2()0,23fxx时，()0fx，()fx在2(,],[2,)3上都是增函数，在2[,2]3上是减函数．∴使()fx在区间[,2]t上是单调函数的t的取值范围是2[,2)3（2）由（1）知32()24fxxxx．设切点为00(,)Pxy，则切线的斜率2000()344kfxxx，6所以切线方程为：322000000(24)(344)()yxxxxxxx．将点(2,)Ac代人上述方程，整理得：3200028880xxxc．∵经过点(2,)(8)Acc可作曲线()yfx的三条切线，∴方程3200028880xxxc有三个不同的实根．设320000()2888gxxxxc，则2000002()6168023gxxxxx或，0()gx在2(,)3上单调递增，在2(,2)3上单调递减，在(2,)上单调递增，故2()0,3(2)0,gggg极大极小得：280827c．