常微分方程 第六讲：一阶隐式微分方程

西南科技大学理学院1若能从(1)解出y的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（）/(,)yfxy一阶隐式微分方程是指/(,,)0(1)Fxyy第六讲一阶隐式方程的解法2'(3)'30.yxyyxy例1:试求解微分方程：西南科技大学理学院2本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。（1）不含y（或x）的方程（2）可解出x的方程（3）可解出y的方程若不能从(1)解出y的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。西南科技大学理学院31、若方程（1）不含y，即/(,)0.Fxy/()()xttyt,(为)为参数参数若原方程可表示形式()().yttdtC/从而//(),()()(),dxtdtdytdxttdt那么西南科技大学理学院4()()()xttyttdtC/参.(为参)数数故得原方程形式的解222)(1)0yxx求方程(的通解.例1/cos,cot,xtyt设解：代入原方程西南科技大学理学院5sin(),cos()sin.,dxtdtdytdtytC从那么而cos()sin()xttytdtC参数.(为参数)故得原方程形式的解/cos()cot.()xtyt为参数原方程可表示形式22()1.xyC参数积上式消去得通分西南科技大学理学院633'3'0.xyxy求方程的通解例2：若方程（1）不含x，即则完全类似求解。/(,)0,Fyy22(1-')(2').yyy求解方程例3：西南科技大学理学院72、若可从方程（1）解出x，即/(,).(4)xfyy解法：//(,).xfypypyp引入参数,于是（4）等价于//(,)1(,)(,).ypdpfypfypxfydypyp对关于求导，得这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出（1）的解。西南科技大学理学院8/(ln)1yxy求方程的通解.例4//1ln.1ln.xyydypxpdxpx由原方程解出得：即有解令,.1dppdyp得整理2111,dpdppdypdypy两端关于求导得dx/dy=西南科技大学理学院91lnlnxpppyppC.(为参数)参数则原方程有形式的通解ln,yppC变用分离量法求解上式得西南科技大学理学院103、若可从方程（1）解出y，即/(,).(2)yfxy解法：//(,).yfxpypyp引入参数,于是（2）等价于//(,)(,)).(,xpyfxpxdppfxpfxpdx对关于求导，得西南科技大学理学院11(,),(,(,)).ppxCyfxdpdxpxC从上式解出,若能求得解则（2）有通解这/里p=p(x,C)只能代入y=f(x,p),不能代入y=p.53-(')-(')'50.yyyy解方程例5：西南科技大学理学院12(,,)0,(,)(,,)0GpxCyfxpGpdxxpdCp，若只能从关于的方程求得通积分则可通过联立方程再消去，得到原方程的通积分。(,),(,)((,),)xpCxpCyfdpCppdx参数.(p为参数)若只能从关于的方程求得解则原方程有形式的通解西南科技大学理学院13求方程的通解.222()2xyxyy例6解令,原方程写为2/22().2ypxyxpp(12)0,dppxdx（）化简得1.2dppxdx或者222,dpdpppxxpdxdxx两端关于求导得西南科技大学理学院14222()21-.2xyxpppxyx将代入方程得到特解222211,22112()()2221.4dppxCdxxyxxCxCxCxC为由方程知于是原方程的通解西南科技大学理学院15()()yxyy此方程称为克莱洛方程求方程的通解.例7/().yxpypp（3）解令,原方程写为()0,dppxdx/（）化简得///()()0,(),pdpdpppxpdxdxppx若二次可微且(3)两端关于求导得西南科技大学理学院160,().dppCdxyCxC由得到从而有通解///()0,()()(()).0(),pxpppxyxpxpx由于则存在隐函数代入（3）即得到特解//()0()0.()xpxpyxpp取与（3）联立有西南科技大学理学院17()yxyy关莱们于克洛方程，我有().yxCC莱换数为/（1）克洛方程的通解由原方程的y成任意常得到，即/()0.()xppyxpp莱为参数（为参数）（2）克洛方程的特解形式/()0xp时这个参数称为积线两关导此，形式的特解又方程的p分曲。而可直接由（3）端于p求得到。西南科技大学理学院1821'yxyy解求方程.例821'(')yxyy解求方程.思考：西南科技大学理学院19习题选讲2'ln(').yxyxxyEx1：2ln(1').yyEx2：22'2'cotyyyxyEx3：33'(1')yxyEx4：32'''10.yyyEx5：22(')(').xyxyyyEx6：西南科技大学理学院20小结/(,,)0Fxyy（1）可解出y的方程（2）可解出x的方程（3）不含x（或y）的方程**借助于一些变量代换，可将隐式形式的方程化为显式方程。/yp**借助于一些变量代换，将隐式形式的方程化为参数形式方程。西南科技大学理学院21作业：P46T1（2）（4）（6）(8)(10)T2.求一曲线，使它上面的每一点的切线与两坐标轴所围城的三角形的面积都等于2。