弹性力学基础

弹性力学的基础知识（附录I.1）1应力---单位面积上作用的内力（物体一部分对另一部分的作用力）。一般来说，内力是分布力，物体内各点的应力是不同的。为求P点的应力，取出包括P点在内的微小面积A，其上的作用力为T，则P点的应力为ATσlim可分解为C面法线方向的正应力和切线方向的切应力通过P点可以做无穷多个面，不同方向的面上应力是不同的。这样就产生了到底如何描绘一点处的应力状态的问题。可以通过该点的三个正交平面上的应力来描述一定处的应力状态9个应力分量用张量ij表示ijzzyzxyzyyxxzxyx注：,,xxxyyyzzzjiij，上述应力分量中只有独立的六个应力分量。应力正负号规定：正应力：垃应力―――正压应力―――负切应力：所在面的外法线与坐标轴正向一致时坐标正方向切应力为正，反之为负；张量：服从一定坐标变换式的九个数定义的量（二阶张量）同一个应力状态，一坐标系下的应力张量可通过坐标变换转换为另一坐标系下的张量利用一点处应力状态的六个应力分量，可以求出通过该点的任一平面上的应力。任意斜面ABC上面力为T，其分量分别为zyxTTT,,nml,,表示ABC的法线方向的方向余弦),cos(),cos(),cos(znnynmxnl对单位面积ABCnml,,代表：1）任意斜面的方向余弦，2）三个正交平面的面积由静力平衡条件得到下列关系式：nmlTzxyxxxnmlTzyyxyy（1.2）nmlTzyzxzz该斜面上的正应力和切应力分别为nTmTlTzyx2222)(zyxTTT这样，用描述一点处应力状态的六个应力分量求出了任一平面的应力。当ABC面无限趋近于P点时，该面上的应力代表通过P点的（l,m,n）面的应力。主应力只有正应力而切应力等于零的面叫做主平面，主平面上的正应力叫做主应力。已知P点的应力状态，求主平面（l,m,n）和主应力设主平面为ABC（nml,,），主应力为对单位面积的ABC，T=σnTmTlTlTzyx,,代入式（1.2）可得0)(nmlzxyxx0)(nmlzyyxy0)(nmlzyzxz（1.3）因1222nml，故nml,,不能同为零，即（1.3）有非零解。存在非零解的条件如下式0zyzxzzyyxyzxyxx这个方程是关于的三次方程，可以解出三个根1，2，3，三个主应力。按大小顺序：第一主应力，第二主应力，第三主应力。1，2，3带入（1.3）式，可课求出三组（l,m,n）.一般情况下，存在三个主应力。三个主方向相互正交。球形应力张量和应力偏量一般情况下某一点处的应力状态可以分解为两部分：各向相等的压（或垃）应力p和其余部分ijs，ijijpSP=mmm000000)(31)(31321zyxmijsmzzyzxyzmyyxxzxymxP球形张量（等静应力分量），ijS称为偏斜应力张量，简称应力偏量。球形张量引起材料的体积变化，应力偏量引起形状变化。平衡方程物体在外载荷作用下处于平衡时，物体内各点也应处于平衡，即物体内每一点的各应力分量应满足平衡方程。X方向力平衡：0ddddddddyxFxxyyyyxxxyxyxyxxxx经过整理0xyxxFyx推广到三维问题0xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx2应变·受力后物体发生位移·位移包含刚体运动和变形·每一点的变形可从该点的位移（u,v,w）求出变形：长度变化和角度变化设wvu,,为形变后弹性体内任一点位移沿zyx,,方向的位移分量；几何方程：应变与位移的关系――线应变（正应变）：表示长度变化zwyvxuzyx,,――切应变（剪应变）：角度变化yuxvyxxyzvywzyyzxwzuxzzx)(21yuxvxy正负号规定：两个正向（或负向）坐标轴间的直角减小为正用张量表示：ijzzyzxyzyyxxzxyxijzzyzxyzyyxxzxyxxyxy2应变协调方程6个几何方程，三个位移函数-----从应变得不到单值的位移-----物质开裂或重叠为了材料在变形中保持连续性，各应变分量之间应满足一定的关系—----应变协调方程222222222222yxxyuvyxyxxyuvuvxyyxyxxyyxxy＋即yxxyxyyx22222推广到三维情况：yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222xzzxxzxz22222yxzyxzzxyzxyz22zyxzyxxyzxyzx22xzyxzyyzxyzxy22当六个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证单质连续的位移函数3本构方程――广义虎克定律三维情况下应力应变关系用广义虎克定理来描述。zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211对于各向同性材料，这36个常数中只有两个独立的弹性常数。例如：322331132112332211CCCCCCCCC等等广义虎克定律：)]([1zyxxE)]([1xzyyE)]([1yxzzEGxyxy，Gyzyz，GzxzxE为正弹性摸量（扬氏摸量），G为剪切摸量，为泊松比。三个弹性常数中只有两个是独立的，它们之间服从如下关系。)1(2/EG弹性力学问题的提法以上推出了15个方程（组）：3个平衡方程6个应变协调方程（或6个几何方程）6个本构方程（广义虎克定律）未知量：15个：6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量※泛定方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件给出了每一个边值问题的特定规律。※弹性体应满足的泛定方程是封闭的方程组，在一定边界条件下可以求解—且解是存在的，唯一的，稳定的。1）.边界条件应力边界条件：物体边界上给定面力位移边界条件：物体边界上给定位移混合边界条件：一部分边界上给定面力，一部分边界上给定位移2）．弹性力学问题的提法所谓求解弹性力学问题是，给定作用在物体全部边界的载荷或位移，求解物体内因此而产生的应力、应变场，其应力分量、应变分量和位移分量要满足15个基本方程—泛定方程，并且还要满足给定的全部边界条件。3）．解法：位移法，应力法，混合法，逆解法4）．解的存在性，唯一性，稳定性弹性力学问题的解是存在的，且在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是存在且唯一的解的唯一性若不唯一，则可能由两组解，(1)(2),ijij，其差为*(1)(2)ijijij*ij带入平衡方程和应变协调方程―――满足，*ij也是一组解。(1)(2),ijij应满足边界条件，即在边界上(1)(2)(1)(2),ijjiijjiijijjnTnTn则必有－=0即在给定面力的边界上，有*0ij这就是说，*ij对应于一个无面力的自然状态。自然状态下物体内部也无应力，无应变。由此得出，在全部体积内*0ij，即(1)(2)0ijij,)2()1(ijij―――解是唯一的！！解的稳定性：当外加载荷发生微小变化时，其解只产生微小变化两个基本原理5）．圣维南原理（Saint-Venant原理）●如果作用在弹性体表面某一不大的局部面积上的力系，被另一平衡力系所代替，则载荷的这种重新分布，只在离载荷很近的地方的应力发生显著的变化，在离载荷很远处只有极小的影响●施加于弹性体上的平衡力系，如果作用点限于某个局部，那么该平衡力系对远离该局部区的地方所造成的应力是可以忽略6）．叠加原理：iiFT,作用下的应力为ij，在iiFT,作用下的应力为ij，则在iiiiFFTT,作用下的应力为ijij平面问题（二维问题）―――物体所受的面力和体力以及其应力都与某一个坐标轴（例如z轴）无关。1)平面应力问题很薄的平板，载荷只作用在板边，且平行于板面，即z轴方向面力分量为零。0xzyzz。因此应力是平面分布的ij00000yyxxyxijzyyxxyx0000--------应变是三维的！)]([1yxzzE2)平面应变问题板很厚，Z轴方向很长。外载荷作用在垂直于oz方向且沿z轴均匀分布的一组力。无限厚板，或有限厚、两端受刚性约束。0yzxzz，即应变是平面分布的ij00000yyxxyx，ijzyyxxyx0000).(yxz**应变是平面分布的，但应力非平面分布，处于三向应力状态！！三维平衡方程0xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx平面问题的平衡方程为0yxxyx0yxyyx应变协调方程为yxxyxyyx22222改为应力表示，并利用平衡方程消去切应力，得0)(2222yxyx本构方程][1yxxE][1xyyE，Gxyxy，平面应面)1/(平面2EEE应力,)1/(6应力函数不论是平面应变问题或平面应力问题的求解都可以通过寻找适当的应力函数来达到目的。为此，引进应力函数),(yx，使得22yx，22xy，yxxy2－代入平衡方程可知恒满足，再看应变协调方程22222yxyx带入应变协调方程，得0222222yxyx展开为0244222444yyxx简写为04),(yx称为应力函数，或称Airy应力函数（1862年），上面的方程，称为双调和方程。如),(yx满足双调和方程，由此得出的应力满足平衡方程和应变协调方程求解平面问题归结为求得应力函数，使其满足双调和方程，由求出的应力满足给定的边界条件。双调和方程有无穷多个通解，因此，直接求解弹性力学问题往往是极其困难--------逆解法，半逆解法平面问