第七章 多元函数微积分

1第七章多元函数微积分学习目的和要求学习本章，要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值，学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题，了解二重积分的数学含义，学会计算一些简单的二重积分．第一节多元函数1．二元函数设有3个变量如果当变量在一定的范围D内任意取定一对值时，变量z按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量z叫做变量的二元函数．记作或称为自变量，D称为定义域，z为因变量．类似地，可以定义三元函数及更多元函数，二元以及二元以上的函数称为多元函数．2．二元函数的极限设函数的某一邻域内有定义，是该邻域内异于的任意一点．如果点以任何方式趋近于时，函数的对应值趋近于一个确定的常数A，我们就说时的二重极限，记作或3．二重极限和二次极限2对于二元函数的极限，可得极限函数，这个极限称为二次极限，记为.4．有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明)有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理．第二节偏导数1．定义设函数的某一邻域内有定义.当固定在时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限值为函数在点的偏导数，记作类似地，可定义函数的偏导数。2．求导法则(1)和：设(2)积：设则3(3)商：设3．高阶偏导数高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数例如：第三节全微分二元函数全微分的定义若二元函数的全增量可表示为其中的高阶无穷小量，则称函数可微，并称在点(x,y)的全微分.进一步讨论可知：故得关于二元函数，有如下结论：若及其某一邻域内存在，且在该点连续，则函数在该点可微．第四节多元复合函数求导法则、隐函数求导公式41.设函数的函数，.若成立条件：(1)在点处存在编导数(2)的相应点可微，则有2．隐函数求导公式设函数的某一邻域内具有连续的偏导数，的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数它满足条件,偏导数可由即来确定.第五节多元函数偏导数的应用1．多元函数的极值5设函数的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于如果都有，则称函数在点()有极大值反之，若成立，则称函数在点有极小值.使函数取得极值的点称为极值点．(1)极值存在的必要条件设函数可微分(或存在偏导数)处有极值，则在该点的偏导数必为零，即(2)极值存在的充分条件设函数的某个邻域内连续且有一阶二阶连续偏导数，又记则①处取极值，且当AO时取极大值，AO时取极小值；②时无极值；⑧时待定．2．条件极值、拉格朗日乘数法在讨论极值问题中，除对自变量给出定义域外，并无其他条件，则称为无条件极值，而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值．拉格朗日乘数法：要找函数下的极值可疑点，可以先构造函数其中λ为某一常数，求的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：6由上述方程组解出即为极值可疑点．3．最小二乘法在经济分析中，我们经常要研究一些经济变量间的相互关系，其中最简单最常见的则为线性关系我们希望利用一组已有的资料来寻找这一线性关系，使找到的能很好地吻合已有数据．记称为计算误差或残差.我们希望找到这样的取到最小值，这种根据残差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘法．由极值存在的必要条件，使必须满足从而可解得7若记则又可得下面比较简单的表达式：4．应用举例(1)生产函数考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素，但就其根本来说，决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力，因而可记生产函数为．在经济分析中，有所谓要素报酬递减定律，也就是边际收益会递减．例如我们假定资金保持不变，则随着劳动力的增加，产量也将随着增加，但劳动力的边际产量将会下降，如图7．1所示．如果资金和劳动力是可以相互替代的，则为得一不变产量水平可以有各种不同的劳动力和资金投入，而且若拥有资金越来越少，此时劳动力就要大量增加．同样，如果只有极少的劳动力，此时若再减少一些劳动力，则资金增量就要大得多，8这样我们就可得到一族等量线K＝K(L)，且等量线为单调下降的下凸曲线(两阶导数大于零)，如图7．2所示在等量线上，Q为常数，所以故得定义为技术替代率，或要素的边际替代率．(2)Cobb—Douglas生产函数20世纪30年代，西方经济学界提出如下形式:的生产函数，称为Cobb—Douglas生产函数,这类函数有如下一些优点,因而得到较广泛的应用:①它是次齐次函数；②等量线为单调下降和下凸的；③常弹性，资金弹性为α,劳力弹性为β；④系数A表示技术进步。(3)齐次函数和欧拉定理若次齐次函数，则特别地，当时，有9它表示：资本投入量乘以边际产量加上劳力投入量乘以劳动力边际产量等于总产量。第六节二重积分2．二重积分的概念设函数在闭区域D上连续，将区域D任意分成n个小区域在每个小区域，作乘积(i=1,2,…,n)，并作和如果各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数，即，其中叫做被积函数，为积分区域.2．二重积分的性质(1).(2)(3)这里假定将区域D分成两个区域D1与D2.(4)若在D上，成立，则有不等式：10特别地有：(5)设上的最大值和最小值,的面积，则有(6)设函数在闭区域上连续，的面积，则在上至少存在一点，成立3．二重积分的计算(1)化二重积分为二次积分(a)先对y后对x积分(b)先对x后对y积分(2)利用极坐标计算二重积分令则11若第七章多元函数微积分例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）（A）x+y+Z=0（B）x+y+Z=1（C）x+y-Z=1（D）x+y-Z=0解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选（B）。例2．指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；（4）方程中x的系数A=0且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。12解：将平面方程化为截距式方程，得因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。例6．求球面的球心坐标和半径。解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。即表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛物面。表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）例8．函数的定义域是（）。（A）（B）（C）（D）解:由函数的表达式知函数的定义域为即，故应选（C）。13例9．设（A）（B）（C）（D）解：由题设,故应选（A）。例10．设在点处偏导数存在，则（A）（B）（C）（D）解：根据偏导数的定义，有故应选（C）。例11．设证明14证明：于是左注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：两边取对数15代入左端即可得结论。例12．设其中f为可微函数，则(A)(B)(C)(D)故应选（D）。例13．设16因此，例14．设例15．设z=z(x,y)是由方程确定的函数，求注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用代入两个偏导还可以表示成17例16．设（A）（B）（C）（D）解1：变量之间的关系图为故应选（A）注意：这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了。例17．证明：设变量之间的关系为18例18．求函数的极值。解：函数的定义域为全平面，得驻点例19．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位分别为10万元和9万元，若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本，又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少？19例20．计算二重积分解：作积分区域D的草图，如图7-1(图7-1)20例21.求解：作积分区域D的草图，如图7-2(图7-2)例22.计算二重积分解：积分区域D是一个圆环:内半径为用极坐标系计算。21注意：当积分区域是圆及其部分，被积函数又比较容易化成极坐标时，应考虑使用在极坐标系之下积分。本例关于和关于r的积分上下限均是常数，同时被积函数可以分离，这时二重积分可化成两个定积分的乘积。例23.计算其中解法1：即圆心在（0,a）半径为a的圆。又,因此是右半半圆（如图7-3）。(图7-3)用极坐标系计算。22解法2：用直角坐标系计算，先对x后对y积分右半圆的方程为第七章多元函数微积分单元测试一、选择题1、点，则的中点坐标为（）A、（0，2，-2）B、（1，-2，1）C、（0，4，-4）D、（2，4，2）232、点关于坐标原点的对称点是（）A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）3、点关于XOY平面的对称点是（）A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）4、过Y轴上的点（0，1，0）且平行与XOZ平面的平面方程是（）5、下列方程中，其图形是下半球的是（）6、设，则（）7、函数的定义域是（）8、设在（0，0）点连续，则K=（）A、1B、0C、1/2D、不存在9、设（）2410、若（）11、设则=（）A、0B、1/2C、-1D、112、设，则=（）13、设，则（）14、若，则（）A、10B、-10C、15D、-1515、设则（）16、若，则（）2517、设（）18、若（）19、设（）20、设函数（）21、设（）22、函数z=f(x，y)在点处具有两个偏导数是函数在该点存在全微分的（）A、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既不是充分条件，又不是必要条件2623、若函数，则（）24、设是由方程确定的隐函数，则=（）25、若则=（）26、二元函数的驻点为（）27、若，则在处（）A、一定连续B、一定偏导数存在C、一定可微D、一定有极值28、设二元函数有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有（）2729、设函数在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且是它的驻点，则是极大值的充分条件是（）A、B、C、D、30、设是函数的驻点且有若，则一定（）A、是极大值B、是极小值C、不是极值D、是极值31、函数在点（0，0）处（）A、有极大值B、有极小值C、无极值D、不是驻点32、对于函数，原点（0，0）（）A、不是驻点B、是驻点但非极值点C、是驻点且为极大值点D、是驻点且为极小值点33、若D是由所围成的平面区域，则（）34、若D是平面区域，则二重积分（）35、设D：，则（）2836、设二重积分的积分区域D是，则（）37、若D是平面区域，y≥0则（）二、计算题(一）1、设。解：设则2、设解：293、计算二重积分，其中区域D是由所围成的第一象限的图形。解：区域D在极坐标下可表示为于是=三、计算题(二）1、设解：2、已知30解：3、设。解法一：在两边分别对和求偏导数，得整理得解法二：4、设确定函数，求解：令31∴5、设函数，由方程确定，其中解：同理6、设D是由所围成的区域，计算32解：先对x积分，再对y积分。7、计算二