2017导数的概念.ppt

导数的概念3.1导数的概念1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明：xyPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.例2:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.222xy,22)1(2)1()1(,lim:20xfxfyxyKxP而解.12212422)1(24lim]22)1(2[)(24lim22)1(2limlim20220200xxxxxxxxxyxxxx.45,45,1tan等于点切线的倾斜角即过PKP故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy答案:y=3x-4.2.瞬时速度已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,则从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移是:在时间段(t0+t)－t0=t内，物体的平均速度为:tsttttsttsv0000__)()()()()(0001tsttsOAOAs平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0时平均速度:.)()(limlim00ttsttstsvtt例1:物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.221gts解:)(212__tggtsvsss(2+t)Os(2)(1)将Δt=0.1代入上式，得:./5.2005.2__smgv(2)将Δt=0.01代入上式，得:./05.20005.2__smgv的极限为：从而平均速度当__,22,0)3(vtt./202limlim0__0smgtsvvtt即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值范围为1;(2)t=2时刻的瞬时速度..520,)(520)625(6)2(5)1(:222ttsttts故平均速度为：解.25,1tst时当.20)520(limlim:2)2(00ttsttt时刻的瞬时速度为3.导数的概念从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的,即计算极限,这就是我们要学习的导数的定义.xyx0lim定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:,|)(00xxyxf或.)()(limlim)(00000xxfxxfxyxfxx如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．xxfxxfxy)()(00如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.000)()(lim)(0xxxfxfxfxx下式表示：事实上，导数也可以用由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)(21)1()1(222xxxy解：,2)(22xxxxxy.2|,2)2(limlim100xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作,即:)()(xyyxf必要时记作或xxfxxfxyyxfxx)()(limlim)(00在不致发生混淆时，导函数也简称导数．.)()(),()()()(,),(0000函数值处的在点数函内的导在开区间等于函数处的导数在点函数时当xxfbaxfxfxxfybax如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续．求函数y=f(x)的导数可分如下三步:);()()1(xfxxfy求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3(0xyxfyx求极限，得导函数.1yxy，求：已知例,xxxy解：,xxxxxxy.211limlimlim000xxxxxxxxxyyxxx.)0(||2的导数数：利用导数的定义求函例xxy;1lim,1)(,,0|,|0xyxxxxxyxyxxyx则时当解：;1lim,1)()(,,00xyxxxxxyxyxx时当.0101xxy4.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy例1:设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.12)1()1(lim0xxffx,12)1()1(lim)(0xxffxfx是可导函数且解：,21)1()1()1(lim,1)1(1)1()1(lim2100xfxfxxffxx.2)1(f故所求的斜率为-2.例2:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例1:判断下列各命题的真假:(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…,则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数.,,0PPnn时当答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象)的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一个假命题.(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度V等于.|)(0tttf答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真命题.(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一只要函数在x0处连续,则就必存在.,0Ax)(0xf5.例题选讲答:它是一个假命题.例如,函数在x=0处连续,但它在x=0处的导数不存在.3xy(4)设是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3三点处的导数均存在.若,则必有))(,(),,(),,(321333222111xxxyxPyxPyxP其中)()(31xfxf)(2xf)).(),((31xfxf答:,由于f(x)的导函数未必是单调增函数.因此,不一定成立,例如f(x)=x3,则显然有故是假命题.时且当)()(21321xfxfxxx)(xf))(),(()(312xfxfxf,3)(2xxf)1(f)).2(),1(()0(),2(ffff