《高等数学》第6章常微分方程

第6章常微分方程知识目标了解二阶微分方程解的结构；理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各特解等概念；掌握可分离变量方程的解法；掌握一阶线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.能力目标通过微分方程的学习，进一步培养学生独立自主的思考能力，明辨是非的判断能力.德育目标培养学生小心求证，大胆应用于实际的综合能力.6.1微分方程的基本概念通过实际例子；了解微分方程的概念和微分方程的阶的概念；掌握求微分方程通解的方法；能够利用初始条件求微分方程的特解.6.1.1实例分析.(0,1),,求曲线方程点且过二倍斜率等于该点横坐标的已知曲线上各点的切线想一想：解析：.1:,0),1)0(,1|)(1,0().(,2,.2,),(),(,202xycyyccxyxdxyxxdxdyyxMxfyx为于是所求曲线方程将其代入到上式得可写成也或写成条件又因曲线通过点为任意常数即得积分两端对依题意有则为曲线上任意一点设所求曲线方程为且过二倍斜率等于该点横坐标的已知曲线上各点的切线.,/80,/402的函数关于时间向前行驶的路程求开始制动后汽车继续速度为制动后汽车的加的速度在直道上行驶一辆汽车以tSsmsm想一想：解析：.404.0:,.0,40:,.),(4.0,.8.0,8.0).40)0(,0)0((40,00:,8.0)(,2212121212222ttStSccccctctSctdtdSvxdtSdSSdtdSvStdtSdtSS　　　　　　　的函数为关于时间路程于是得上式将所满足的条件代入都是任意常数其中得再积分一次得积分两端对将或写成时且满足条件应满足函数制动阶段汽车运动规律由题意知6.1.2微分方程的基本概念.8.0,222都是常微分方程dtSdxdxdy例微分方程微分方程的阶含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在一个微分方程中,未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶..8.0,222都是二阶微分方程是一阶微分方程dtSdxdxdy例.0),,,,,(nyyyyxFn为：阶微分方程的一般形式通常注.22都是微分方程的解和函数xycxy例微分方程的解微分方程的通解若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则这个函数称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微分方程的通解..8.04.022212的通解是微分方程函数dtSdctctS例.,)(,便可得到它的通解次只要通过逐次积分的微分方程形如nxfyn注.8.040)0(,0)0(22的初始条件就是微分方程dtSdSS例初始条件微分方程的特解确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件.微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解..22的特解是微分方程函数xyxy例例题yyyxdxxdyxyyy33023222124：判断下列各方程的阶数1.解：四阶微分方程一阶微分方程二阶微分方程321.的特解初始条件求满足的通解是微分方程验证10,00,023221yyyyyeCeCyxx2.解：.ee.11120,.ee,,,0ee2e2e3e4e23,e4e,e2e221212122121221221221221221xxxxxxxxxxxxxxyCCCCCCCCyCCCCCCCCyyyCCyCCy故所求特解为：　　　得将条件代入通解中是微分方程的通解故为任意常数同时代入微分方程得：建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率是绿地的，现有土地10万亩，试求沙化土地与时间的函数关系式.想一想1016.2一阶微分方程了解可分离变量的微分方程的概念，掌握求解的步骤；了解一阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念；掌握求解一阶线性方程的基本步骤，并能够灵活运用.6.2.1可分离变量的微分方程.,)()(2)()(1即通解的一个关系式与得到两边积分：的形式；分离变量：化原方程为为两步：这类方程的求解一般分yxdxxfygdydxxfygdy.)()(方程的微分的一阶微分方程称为形如可分离变量ygxfdxdy例题.2的通解求微分方程xydxdy1.解：).,0(ee.ln2,221212为任意常数故也是解由于所以两边积分得分离变量为CyCyCxyxdxydyxdxydyxCx.00e2的特解满足条件求微分方程yyyx2.解：.21e21e,21,0)0().(e21e2e21ee,ee22222xyxyxyxyxyCyCCxddyedxdydxdy故所求特解为：得代入通解中将初始条件为任意常数两边积分得分离变量为6.2.2一阶线性微分方程).(e,2)(10)()(为任意常数得通解两边积分；分离变量：的通解分为两步：求方程CCydxxPydyyxPdxdydxxP.)()(一阶线性微分方程的方程称为形如xQyxPdxdy.0,)(,0)(齐次微分方程一阶线性称为方程变为时当yxPdxdyxQ6.2.2一阶线性微分方程).(e.e,e,.e)(e,,e,2,0)(,1)()()()()()()()()()(为任意常数因此原方程通解为：两边积分得：得入原方程代与将得两边求导对通解是原方程的通解令用常数变易法；得通解先解方程分离变量的通解分为两步：求方程CdxxQCeydxxQCxCxQxCyyxPxCxCyxCyCeyyxPdxdyxQyxPdxdydxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxP.)()(,0)(非齐次微分方程一阶线性为称方程时当xQyxPdxdyxQ例题.1123的通解求微分方程xyxy1.解：).(11211121:.121:,1,1112121,.121,1,.1,,12,,01224222322222为任意常数解为因此原方程通两边积分得得代入原方程与将则是原方程的通解令用常数变易法得两边积分得分离变量先解方程CxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxCxxxCyyxCxxxCyxxCyxCydxxydyyxy解：.022的特解满足条件求微分方程yxyxy2.22222443242422244,4,0)2().(4141:.41:,22,.2,.,202xxyCyCxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxxxCxxCyyxxxCxxCyxxCyCxydxxydyyxy　　　　　　　　　故所求特解为：得代入通解中将初始条件为任意常数因此原方程通解为两边积分得得代入原方程与将则是原方程的通解令两边积分得先解方程想一想.,C15.C,10,数关系的函与时间求电机温度恒温的房子里设电机安置在热量发散同时将按冷却定律不断每分钟温度升高一电机开动后t6.3二阶常系数线性微分方程了解二阶常系数线性微分方程的概念及分类；掌握二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的求解方法及分类；能够灵活运用公式解决实际问题.6.3.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法.,0)(20,0)(.)(,)(微分方程二阶常系数非齐次线性分方程二阶常系数齐次线性微程二阶常系数线性微分方方程称为时当；称为　　　　　　　　　　　　　　　　方程时当是已知函数是常数、其中１　　　　　　　　　　　　　　　的一般形式为xfqyypyxfxfqpxfqyypy.)2()(,,)2(2122112121的通解是方程为任意常数与则数不是常即的两个线性无关的特解是方程与设函数CCyCyCyyyyy6.3.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法.)2(e,,.0,)2(,e,,e2的解就是方程函数是这个方程的根若这表明得式求导后代入令数选择适当常性质求导后仍为指数函数的利用指数函数rxrxrxyrqprryr.20212特征根特征方程称为、；特征方程的两个根的性方程称为二阶常系数齐次线其中方程rrqprr根据特征根的不同情况求通解.,ee2.,e,)2(e2121212121212121为任意常数　　　　　　　的通解为：所以方程即线性无关数常且的两个特解是方程、因为、CCCCyyyyeyrrxrxrxrrxrxr是两相异实根(一).,e)2(,2e,e)2(,21211212121为任意常数　　　　　　　为：的通解所以方程线性无关的特解的另一个与方程是而只有一个特解则方程因为、CCxCCyyxyyrrrrrrxrxrx是两相等实根(二).,sincose2.)2(sine,cose,2121212121为任意常数　　的通解为：所以方程的两个线性无关的特解程是方则、令、CCxCxCyxyxyirirrrxxx是一对共轭复根(三)的两个根是方程0,221qprrrr的通解方程0qyypy21rr两相异实根xrxrCCy21ee2121rr两相等实根rxxCCye21irir21,一对共轭复根xCxCyxsincose21关系表例题.032的通解求微分方程yyy1.解：),(ee.1,3,03221231212为任意常数所以方程的通解为：解得特征根为其特征方程为CCCCyrrrrxx.0)0(,2)0(044的特解满足求微分方程yyyyy2.解：.e2.1,2,,e21e,),(e.21,01442212212221221212xxxxxyCCxCCCyCCxCCyrrrr故特解为：得初始条件代入得对通解求导为任意常数所以方程的通解为：解得特征根为其特征方程为6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.,,)(性微分方程的通解线就是二阶常系数非齐次则解应的齐次微分方程的通是对的任一特解是非齐次线性微分方程设　yYyYxfqyypyy定理对f(x)的两种常见形式讨论:,,e)()(e)()(且特解分三种形式数乘积型的特解式与指数函故可推出它应该有多项方程为xnnxnxPqyypynxxPxPxf次多项式)的一个是是常数,(其中（一）.)()(式次多项是都与表中nxQxPnnxnxPxfe)()(xnxQye)(xnxxQye)(xnxQxye)(2的形式)(xf不是特征根是特征单根是特征复根件条的形式特解y注例题.32的通解求微分方程xyy1.解：).,(e:.:,1132223222,.2,2,).,()(:,0,e)(132).,(e:.1,00,021221222121212为任