黄冈中学2011年自主招生预录考试数学试卷

黄冈中学2011年自主招生预录考试数学试卷一、填空题（4085分）1、方程组2621133yxyx的解是2、若对任意实数x不等式bax都成立，那么a、b的取值范围为3、设21x，则2212xxx的最大值与最小值之差为4、两个反比例函数xy3，xy6在第一象限内的图象点1P、2P、3P、…、2007P在反比例函数xy6上，它们的横坐标分别为1x、2x、3x、…、2007x，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P、2P、3P、…、2007P分别作y轴的平行线，与xy3的图象交点依次为)','(111yxQ、)','(222yxQ、…、),('2007'20072007yxQ，则20072007QP5、如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是6、有一张矩形纸片ABCD，9AD，12AB，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是7、已知3、a、4、b、5这五个数据，其中a、b是方程0232xx的两个根，则这五个数据的标准差是8、若抛物线1422ppxxy中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为二、选择题（4085分）9、如图，ABC中，D、E是BC边上的点，1:2:3::ECDEBD，M在AC边上，2:1:MACM，BM交AD、AE于H、G，则GMHGBH::等于()A、1:2:3B、1:3:5C、5:12:25D、10:24:5110、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是()A、rcr2B、rcrC、rcr2D、22rcr11、抛物线2axy与直线1x，2x，1y，2y围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A、141aB、221aC、121aD、241a12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需15.3元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需2.4元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需()A、2.1元B、05.1元C、95.0元D、9.0元13、设关于x的方程09)2(2axaax，有两个不相等的实数根1x、2x，且1x12x，那么实数a的取值范围是()A、112aB、5272aC、52aD、0112a14、如图，正方形ABCD的边1AB，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是()A、12B、41C、13D、6115、已知锐角三角形的边长是2、3、x，那么第三边x的取值范围是()A、51xB、135xC、513xD、155x16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A、%2xB、%21xC、%%)1(xxD、%%)2(xx三、解答题17、（15分）设m是不小于1的实数，关于x的方程033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x，（1）若21x622x，求mr值；（2）求22212111xmxxmx的最大值。18、（15分）如图，开口向下的抛物线aaxaxy1282与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使OCA∽OBC，（1）求OC的长及ACBC的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式。19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱工时213141产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？20、（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率。21、（15分）如图，已知⊙O和⊙'O相交于A、B两点，过点A作⊙'O的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙'O于E、F，EF与AC相交于点P，（1）求证：PFPCPEPA；（2）求证：PBPFPCPE22；（3）当⊙O与⊙'O为等圆时，且5:4:3::EPCEPC时，求PEC与FAP的面积的比值。黄冈中学2011自主招生数学试卷参考答案及评分标准一、1、02611yx或28222yx2、0a0b3、14、240135、336、4457、28、)33,4(二、9～16DBDBDABD三、17、（15分）解：方程有两个不相等的实数根044)33(4)2(422mmmm1m由题意知：11m（1）610102)33(2)2(42)(222212212221mmmmmxxxxxx2175m11m2175m（2）22212111xmxxmxmmmmmmxxxxxxxxm2232121212221)2882()1)(1()]([25)23(2)13(2)1()13)(1(2222mmmmmmmmm)11(m1my取最大值为1018、（15分）解：（1）由题设知0a，且方程01282aaxax有两二根6,221xx于是6,2OBOAOCA∽OBC122OBOAOC即32OC而322OCOBSSACBCOCAOBC故3ACBC（2）因为C是BP的中点BCOC从而C点的横坐标为3又32OC)3,3(C设直线BP的解析式为bkxy，因其过点)0,6(B，)3,3(C，则有bkbk33603233bk3233xy又点)3,3(C在抛物线上aaa12249333a抛物线解析式为：34338332xxy19、（15分）解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有60)3(12190120413121360zyxzyxzyx总产值xxyxyxzyxzyxA1080)3(720)2()(223460z300yx而3603yx3003360xx30x1050A即30x270y60z20、（10分）解：用B和G分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为83。这个家庭至少有一个男孩的概率87。21、（15分）解：（1）证明：连结ABCA切⊙'O于AFCABECABFECEAF//PAPCPFPEPFPCPEPA①（2）证明：在⊙O中，PCPAPEPB②①×②得PFPCPAPBPEPA22PBPFPCPE22（3）连结AE，由（1）知PEC∽PFA，而5:4:3::EPCEPC5:4:3::PFFAPA设xEPxCExPC5,4,3222CEPCEP222FAPAPF090CAFCAE为⊙O的直径，AF为⊙'O的直径⊙O与⊙'O等圆yAFAE4222AECEAC222)4()4()33(yxyx即07182522yxyx即0))(725(yxyx257yx62549:22yxSSFAPECP